Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
одновременно измерены. Пусть в некотором состоянии они имеют определенные
значения. Тогда, как мы уже знаем, вектор состояния должен быть
собственным для операторов Я и 3\
%?пт = АпУпт > $?пт = Вт?пт ¦
Предположим, что {у/пт} образуют полную систему собственных векторов.
Тогда для произвольного вектора состояния
? = ЪСпт?пт
имеем
{Я§-§Я)у = (А"Вт - ВтА, У"" = О
Ввиду произвольности у/ получаем операторное равенство
[Я,3] = ЯЗ-ЗЯ=0,
т.е. наблюдаемые должны коммутировать.
Это утверждение обобщается на случай произвольного (смешанного) спектра и
представляет собой известную теорему из функционального анализа: если два
оператора имеют общую
полную систему собственных векторов, то они коммутируют. Справедлива и
обратная теорема: если [Я,3\ = 0, то операторы Я
и 3 имеют общую систему собственных функций.
Определим полный набор коммутирующих наблюдаемых
Я Я ¦
1) операторы Д попарно коммутируют, = 0; i,j = Ьп>
2) ни один из операторов Д не является функцией от остальных;
3) любой оператор, коммутирующий со всеми Д., есть функция от этих
операторов.
Из изложенного выше следует, что существует общая полная система
собственных векторов полного набора наблюдаемых:
=Л^..А' *=1'п-
Поэтому произвольный вектор состояния может быть представлен в виде
V=
причем
М
2
есть вероятность получить в результате одновременного измерения
наблюдаемых А1,...,Ап значения Л1,...Лп.
Таким образом, состояние системы в квантовой механике можно задать полным
набором значений наблюдаемых. Их число называется числом степеней свободы
системы. В общем случае оно определяется из опыта. В частных случаях это
число совпадает с числом степеней свободы соответствующей классической
системы.
Полный набор наблюдаемых может быть задан многими способами. Его фиксация
определяет некоторое представление пространства состояний квантовой
системы функциями
у/(Лх,...,лп) = сЯ]..Л = {у/Лг..я ,у/),
определенными на спектре операторов Я},...,Яп. Функция называется
волновой функцией системы в данном представлении.
Пример. Для точечной (бесструктурной) частицы полный набор наблюдаемых
образуют операторы координат ?,%?. Ему отвечает координатное
представление волновых функций:
у/(х,y,z) = Jу/(х0,y0,z0)S(x - х0)S(y - )S(z - z0)dx0dy0dz0. Другой
полный набор составляют операторы компонент импульса
26
y/(x,y,z) = \y/(px,Py,Pz)v4> ^{pxx + pyy + pzz)
dpxdPydPz
(2л: h)
,3/2 '
где y/[px,py,pz) - волновая функция в импульсном представлении (выше она
обозначалась С(р)).
4. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА
4.1. Соотношение неопределенностей
Пусть две наблюдаемые Я и 3 не коммутируют. Тогда их коммутатор имеет
вид:
[Д#]=г<е,
где ё- эрмитов оператор. Покажем, что дисперсии наблюдаемых в
произвольном состоянии у/ удовлетворяют ограничению
(М2}((дв)2}>^<с)2.
Оно называется соотношением неопределенностей и получено впервые
Гейзенбергом (W. Heisenberg) в 1927 г. для частного случая наблюдаемых ?
и Д..
Его общее доказательство принадлежит Вейлю (Н. Weyl). Введем наблюдаемые
&=Я-(А), 3=3-{В), №§\ = i§,
и рассмотрим неотрицательную функцию действительного параметра Л:
F(X) = ||(^?- i^)y/1 = ([л?- if^y/}= {у/,{ш+ ifyjfifc-if^y/}=
= [у,{л2?2 +&+ Л§)у/)= Л2(а2) + Л(С) + (ь2)> 0.
Ввиду произвольности Л дискриминант полученного квадратного трехчлена
должен быть неположительным:
(С)2-4(а2)(б2)<0.
С учетом равенства ^а2^ = ^(АЛ)2^ получаем отсюда приведенное
выше соотношение неопределенностей (СН).
Для коммутирующих наблюдаемых правая часть СН обращается в нуль, что
соответствует, как мы видели выше (см. п. 3), одновременной измеримости
таких наблюдаемых.
27
Для некоммутирующих наблюдаемых СН накладывает ограничение на точности, с
которыми могут быть одновременно заданы (измерены) эти наблюдаемые.
Наиболее сильное ограничение имеется в случае, когда (^, [Я, 3\щ) Ф 0 для
любых состояний у/, например, если [Я, 3] = ic?, где с = const. В этом
случае не существует состояний, в которых обе наблюдаемых имеют
определенные значения.
Пример. Пусть Я = ?, 3 = Д.. Тогда
[?,fix] = №,
и мы получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:
Качественно СН может быть получено из анализа эволюции волнового пакета
(см. п. 2). Было показано, что эффективные размеры пакета в координатном
и импульсном представлениях, т.е. неопределенности координаты и импульса
частицы, связаны соотношением
Ах • Ак > 1, или Ах • Арх > h, так как импульс рх =hk.
Детальный анализ показывает, что в случае некоммутирующих наблюдаемых Я и
3 измерение одной из них приводит к неконтролируемому изменению другой
наблюдаемой. Возмущение системы в процессе измерения конечно и таково,
что всегда выполняются СН. Иными словами, для точного измерения таких
наблюдаемых требуются несовместимые измерительные приборы.
Найдем состояния у/, в которых достигается минимум
неопределенностей, т.е. точное равенство в СН. Получаем для них систему
уравнений (см. выпте вывод СН):
[ш~ itr} у/ = О,
Л2(а2) + Л(С) + (Ь2) = О,
