Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальный оператор:
р -" § = -ihV.
Координате отвечает оператор умножения:
r^?=r, (r) = ^d3x\j/*(r)r\j/{r).
Заметим, что в пространстве волновых функций в импульсном представлении
с(р) имеем:
? = р = Йк, ?=ihV0 = ih-.
dp
Поэтому, в частности, средняя координата
(г) = |^С*Ы^рС(р).
Полученные результаты обобщаются следующим образом: каждой физической
величине А, значение которой может быть в принципе измерено, наблюдаемой,
однозначно соответствует линейный
оператор Я в пространстве волновых функций.
Фундаментальный оператор Гамильтона - гамильтониан, определяющий эволюцию
волновой функции, выражается через операторы координаты и импульса:
?=|1 +[/(?).
2т
Среднее значение наблюдаемой вычисляется по правилу:
(^4) = ^у/* Я\J/dъx.
В дальнейшем будем использовать обозначения из функционального анализа,
предполагая, что множество волновых функций - линейное пространство.
Скалярное произведение:
{y/,(p)=^\l/*(pdlх, {cy/,(p)=c*{(p,ii/)*, с = const.
Норма |^| вектора у/ определена в виде
||^||2 =(у/,у/)>Ъ, причем |^| = 0 тогда и только тогда, когда у/ = 0.
Оператору Я ставится в соответствие эрмитово сопряженный оператор Я+
согласно определению:
22
{ц/,я(р)={я+у/,(р).
Пусть Я- оператор наблюдаемой А. Ее среднее значение должно быть
действительным числом. Поэтому
(А) = (у/,Яу/) = [Я+у/,у/) = {.АУ = [Яу/,у/\
Следовательно, оператор наблюдаемой должен быть
эрмитовым: Я+ = Я. Легко проверить, что уже введенные операторы
координаты и импульса эрмитовы в пространстве квадратично интегрируемых
функций.
3.2. Принцип суперпозиции
Линейность уравнения Шрёдингера и операторов наблюдаемых обеспечивает
выполнение фундаментального принципа суперпозиции, согласно которому:
1. Если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых
волновыми функциями у/х и у/2, то она может также находиться и в
состоянии
у/ = сху/х +c2i//2, где сх,с2- произвольные комплексные числа.
2. Функции у/ и су/, где с- произвольное комплексное число, описывают
одно и то же состояние.
Для физически реализуемых состояний ||^|| < оо. Принцип суперпозиции
всегда позволяет выбрать для таких состояний условие нормировки ||^|| =
1. Рассмотрим состояние у/ = сху/х + с2у/2, представляющее собой
суперпозицию состояний у/х и у/2. Для плотности вероятности, квадрата
нормы и среднего значения наблюдаемой А в этом состоянии получаем
соответственно выражения:
{\j/,y/) = \ = |cj|2 +|с2|2 + 2R.sc* с2{у/х,у/2\
(А) = (у/, Яу/)=\сх\2(у/х,Яу/х)+ \с2\2(у/2 ,Яу/^)+ 2R есх*с2 , Яу/2).
Отсюда видно, что квантовая механика не сводится к классической теории
вероятности: возникает характерный эффект интерференции состояний у/х и
у/2, не имеющий классического аналога.
3.3. Условия одновременной измеримости наблюдаемых
23
Как мы уже видели, предсказания квантовой теории носят вероятностный
характер. Выясним, когда измерение наблюдаемой А дает определенный
результат. Рассмотрим отклонение от среднего АА = А-(А). Ему отвечает
наблюдаемая ? = Я-(А}?, где
?¦ единичный оператор (в дальнейшем его будем опускать). Дисперсия
случайной переменной А в состоянии у/ равна
^(Д/4 )2 ^ = (^, St у/) = (?у/, ?у/) > 0.
Она обращается в нуль только при ?у/ = 0, или
Яу/ = (А}щ.
Следовательно, в указанном состоянии наблюдаемая имеет определенное
значение, которое совпадает с одним из собственных значений оператора
наблюдаемой. Само состояние описывается волновой функцией, представляющей
собой собственный вектор оператора.
В дальнейшем для краткости, если это не приведет к недоразумению, мы
будем отождествлять понятия состояния и соответствующей ему волновой
функции (используется также термин вектор состояния), наблюдаемой и
оператора наблюдаемой. Пусть наблюдаемая Я имеет дискретный спектр:
Яу/п =Апу/п, " = 1,2,3...,
причем система собственных функций {у/п} полна и ортонормирована, т.е.
образует базис в пространстве состояний:
^ = (Гп''Гп)=Я"'"' cn=(w",w)-
п
Здесь у/ - произвольный вектор с единичной нормой. Имеем следующие
соотношения:
(y/,y/) = \ = Y\cn\\
{А) = (у/,Яу/)=(^спу/п,Я?сп,у/п.
V п п'
Отсюда следует, что
К =\сп\2 =\(Vn,wT
есть вероятность получить значение Ап наблюдаемой А при измерении в
состоянии у/, причем значений А Ф Ап на опыте обнаружить нельзя.
Если наблюдаемая Я имеет непрерывный спектр {Л}, то
V = сл=(у/л,у/).
Тогда
24
= ZCX' {vn > %Vn' ) = ZI Сп\2лп
п.п
- плотность вероятности, т.е. w(A)dA - вероятность обнаружить
значение А в интервале (Л, Л + dX). При этом
J M{X)dA = (у/,у/) = 1.
Условие ортонормированности заменяется условием нормировки на 8 -функцию:
(^л',^л) = Ф'-л)-Пример. Собственные векторы оператора импульса ? = -ihV
имеют вид
^р(г)=(2;й)"3/2ехр {wр',^р)=^(р,-р)-
Для оператора координаты ? = г имеем
Гг0(Г) = ^(Г-Го)-В общем случае смешанного спектра получаем
? = ^спУ'п+\Мсху/х,
п
{Y,Y)=Y\cn]\ +\dX |сяГ =1 -
п
Условие полноты системы собственных функций имеет вид:
Е V, (г V; И+J diVl (г v; и=s{r - г').
П
Рассмотрим условия, при которых две наблюдаемых А и В могут быть
