Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
tv =1,5-Ю10лет~Ю17с.
Иначе говоря, за 1 с пакет расширится на ничтожную величину
ю-27-1 1Л_27
------= 10 см.
М
Следовательно, для макроскопической частицы расплыванием пакета можно
пренебречь. С высокой степенью точности движение
18
центра макроскопически малого пакета подчиняется законам классической
механики (см. п. 5).
Для микрочастицы в общем случае необходимо использовать уравнение
Шрёдингера для волновой функции, которой, как мы убедились, нельзя
придать непосредственно прямой физический смысл.
2.2. Вероятностная интерпретация волновой функции
Представление об электроне в виде группы волн находится в явном
противоречии с экспериментами по столкновению электронов с атомами, в
которых электрон ведет себя как единая стабильная частица. В
экспериментах по дифракции пучка электронов на кристаллах проявляются
волновые свойства электронов, причем аналогия с дифракцией
электромагнитных волн, рассматриваемых как поток фотонов, приводит к
статистическому предположению: интенсивность волны в данной точке
пространства пропорциональна плотности частиц. Оказывается, однако, что
дифракционная картина не зависит от интенсивности пучка частиц: она
возникает и при очень малой интенсивности и даже при пропускании
одиночных электронов один за другим. При регистрации дифракционной
картины каждый электрон, прошедший периодическую структуру (например,
монокристалл), оставляет на фотопластинке небольшое пятно, проявляя тем
самым корпускулярные свойства. При достаточно большем числе прошедших
последовательно электронов распределение пятен на пластинке образует
дифракционную картину, совпадающую с получаемой при пропускании пучка
электронов.
Детальный анализ процессов рассеяния электронов на атомах на основе
уравнения Шрёдингера привел Борна (М. Вот) к вероятностной интерпретации
волновой функции частицы (1926 г.):
квадрат модуля |^(?,г)|2 есть плотность вероятности обнаружить
частицу в точке пространства г в момент времени t. Таким образом,
квантовая механика (даже для одной частицы) является вероятностной
теорией, в которой принцип причинности отличается от соответствующего
лапласовского принципа причинности в классической механике. В своей
статье 1926 г. Борн так сформулировал основную особенность квантовой
теории: "Движение частицы следует вероятностным законам, сама же
вероятность распространяется в соответствии с законом причинности".
19
Указанная вероятностная интерпретация волновой функции -один из основных
постулатов квантовой теории, который подтвер-ден всей совокупностью
проведенных экспериментов.
Покажем, что из УШ вытекает закон сохранения вероятности. Запишем
уравнения для у/ и комплексно сопряженной к ней
функции у/*:
ду/ h2 2
ih- =--------V у/ + Uу/,
dt 2т
ду/* П2 ^ * , ТТ *
- ш--- =--------V у/ +Uw .
dt 2m
Умножив первое уравнение на у/*, а второе на у/, вычтем одно из другого.
Получим
ot 2 mi 2 mi
Введем плотность p и поток вероятности j:
р = у/ > = У2,
J
П
-{y'V уу')?).
2 mi
В результате находим уравнение непрерывности (ср. с электродинамикой, ч.
1 курса):
^ + V-j = 0. dt
Проинтегрировав его по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S,
получим интегральный закон сохранения вероятности:
d_ dt
Удалив S в бесконечность, в предположении, что
J
-J pd3x =
получим
jt\p4lx = o,
ИЛИ
J|^| d3x = const.
Для физически реализуемых состояний всегда можно выбрать такую нормировку
волновой функции, что
20
J|^|2</3JC = 1.
Это соотношение означает, что вероятность обнаружить частицу во всем
пространстве равна единице, как и должно быть.
Замечание. Плотность р и поток вероятности j инвариантны
относительно преобразования фазы волновой функции:
t icc * v f* -icc *
у/ -" у/ = е у/, у/ ->¦ у/ - с у/ .
Функции у/ и у/' отвечают одному и тому же состоянию.
3. НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ
3.1. Средние значения координаты и импульса. Наблюдаемые
Зная плотность вероятности координаты частицы, можно найти среднее
значение координаты - математическое ожидание:
(г) = Jr|^|2</3JC.
Как найти среднее значение импульса (р)? Рассмотрим волновой пакет:
*W^CWe~, C(k) = f^(r)e-
Здесь время t фиксировано и явно не указано в качестве одного из
аргументов волновой функции. Преобразуем условие ее нормировки:
/ИгМг)<1гх = 1 = J-7"^C'(k)C(k')Jd3jce-,1'r4Jk г =
\2я)
= j</3?c*(k)c(k),
где использовано известное соотношение:
J</3jcei(k'-k>r =(2я-)3?(к'-к).
Естественно, следуя Борну, интерпретировать |С(к)|2 как плотность
вероятности обнаружить при измерении импульс частицы р = Йк.
Фурье-образ С(к) функции ^(г) называется волновой функцией в
импульсном представлении. Ясно, что тогда среднее значение импульса
(р) = J<mk|C(k)|2 = (r')e'l'r' е-""г).
Проинтегрировав в последнем интеграле по частям в предположении, что у/
-" 0, получим с учетом
21
\d3kQHr'-r) = (2ж)г 8(r' -г) выражение для среднего импульса в
координатном представлении:
(р) = \d3xy/*(г) (-ihVщ(г)).
Итак, в пространстве волновых функций импульсу соответствует
