Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борисов А.В. -> "Основы квантовой механики" -> 5

Основы квантовой механики - Борисов А.В.

Борисов А.В. Основы квантовой механики — М.: МГУ, 1999. — 88 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 24 >> Следующая

ds+-(VSj +U--V2S = О
и имеет вид:
dt 2т 2т
ih^- = §y/, fi = --V2 + U(t,r). dt 2т
Это уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле. Введенный
линейный оператор Й называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом.
Линейное УШ эквивалентно нелинейному КУГЯ, причем в общем случае как у/,
так и S- комплекснозначные функции. КУГЯ переходит в классическое УГЯ при
условии
h\v2S "(VS)2.
В этом приближении допустимо использовать классическое выражение для
импульса р = VS. Тогда находим
h | | XlVpl
-Г Vp "1, или --- " 1, р р
т.е. относительное изменение импульса на дебройлевской длине волны % = Ы
р должно быть малым.
В одномерном случае получаем простое условие
d%
л<<!>
т.е. X, должна слабо изменяться при изменении координаты х. При dU/dt = 0
выполняется закон сохранения энергии:
.2
Р
¦ +
U(x)=E.

Отсюда находим
р dp dU
= F.
т dx dx
где F- ньютоновская сила. Условие применимости классического уравнения
Гамильтона-Якоби принимает в стационарном одномерном случае вид:
15
р2 / т
т.е. работа силы на дебройлевской длине волны должна быть мала по
сравнению с кинетической энергией частицы. Это условие заведомо
нарушается в окрестности точки поворота х = х0, где р(х0) = 0, и,
следовательно, X = оо.
Более подробно условия применимости классической механики мы обсудим
позже (см. п. 5).
2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
2.1. Волновой пакет и его эволюция
Рассмотрим специальное решение уравнения Шрёдингера для
свободной частицы в одномерном случае:
00
y/{t,х) = J dkC{k)o^р[- i(co t - Ах)],
-00
где С(к) - функция, модуль которой имеет резкий максимум в некоторой
точке к = к0 и быстро убывает при \к - к01 -" оо. Такое
решение называется волновым пакетом.
Ограничимся для определенности частным случаем прямоугольного пакета:
, ч f^4/? = const, k^I = {kQ -SI2,kQ +SI2\
С(*Ноде/,
где 0 < 8 " k0.
Вычислим интеграл по к приближенно, используя разложение частоты со(к) в
окрестности к0:
(о{к) = (o{kQ)+ ш1'(к0 \к - к0)+ ^ (о"{к0 \к - к0 )2 + • • •.
С учетом лишь линейных членов разложения получим пакет в виде y/{t,x) =
B{t, х)ехр[- i(co0t - k0 jc)] .
Здесь переменная амплитуда
i &q 41 § /2 • ^0 л
B(t, x) = - \dk ехр[г(? -к0\х- о#)] = A , ? = - (x - cof0t),
8 Jsn Z 2
16
где со[ = . При co'0S - А со " со0 пакет представляет собой
V dk )к=ко
амплитуд!ю-модулировштую волну - это почти монохроматическая волна,
амплитуда которой заметно изменяется на сравнительно больших временном и
пространственном интервалах:
А? >\/Асо"\/со0, кх>\18"\1к0 .
В рассматриваемом случае амплитуда B(t,x) имеет максимум, равный А, в
точке jc = co'0t. Следовательно, максимум (центр пакета) движется
равномерно со скоростью
( dco^
V. =
g
\ dk j
к=к§
которая называется групповой скоростью (пакетагруппа волн). Пакет y/(t,
х)сосрсдоточсн в окрестности максимума амплитуды В
и имеет указанные выше размеры Ах и в пространстве и во времени. Его
фурье-образ у/(со,к) имеет соответственно размеры Ак = 5 и А со, причем
выполнены соотношения
Ак • Ах > 1, Ао) • А? > 1, которые, конечно, известны в теории
преобразования Фурье. До сих пор мы не учитывали высшие члены разложения
со(к).
Учет слагаемого -colik-k^ft в аргументе экспоненты в интегральном
представлении пакета i//(t,x) приводит, очевидно, к расплыванию пакета,
т.е. его уширению. Определим характерное время расплывания пакета td из
условия
со"о(А k)2td~\,
отсюда с учетом связи Ак ~ 1/ Ах находим (Ах)2
t
d со
Описанные выше свойства волнового пакета не зависят от природы волны.
Волновая функция свободной частицы в виде пакета описывает суперпозицию
состояний частицы с различными значениями импульса и энергии:
fi2k2
р = hk, Е = fico =--------.

Такая суперпозиция не имеет прямого аналога в классической механике. Тем
не менее, косвенная связь с классикой есть: центр пакета движется
равномерно с групповой скоростью
17
dco
\dk
hk0
m
что отвечает соотношению v = p/m для классической частицы, движущейся со
скоростью V = vg.
Попытка представить квантовую частицу в виде некоторого материального
волнового сгустка (пакета) не выдерживает критики, в частности, ввиду
расплывания пакета. Действительно, время расплывания пакета начальной
ширины а для нерелятивистской частицы (Е = р2/2т) равно
td
а2 та2
h{d2E/dp2) П
Положим а = 10"8см (типичный размер атома, см. п. 10) и т = 9,1 • 10"28г
(масса электрона). Тогда время расплывания
10"27г-10"16см2 16
U-------------------= 10 с-
10 эрг-с
Следовательно, с макроскопической точки зрения пакет расплывается
мгновенно. За время td ширина пакета возрастает по определению на
величину порядка а. Следовательно, скорость расплывания
a h
vd
td та
В нашем примере за время t = 1с ширина первоначально микроскопического
пакета достигнет величины
Ш 10"27-1 in" щз .
= 10 см = 10 км!
та 10-27 -10'
С другой стороны, для макроскопической частицы массы т = 1 г положим а =
1см. Тогда время расплывания
t ~~LL=io27c, d 10"27
что гораздо больше времени жизни Вселенной
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 24 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed