Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
энергии стационарных состояний вследствие специфики кулоновского
потенциала (совпадение периодов изменения разделяющихся сферических
координат r,6,q> приводит к зависимости
квантованных значений энергии только от суммы целых чисел п = пг+пд+п<р).
Теория Бора-Зоммерфельда оказалась не в состоянии объяснить обнаруженную
тонкую структуру атомных спектров и была непоследовательной: она
использовала как классические
представления, так и чуждые ей квантовые. В частности, электрон считался
классической частицей, но из всего множества возможных траекторий
отбирались лишь те, которые удовлетворяли условиям квантования.
В 1923 г. JI. де Бройль (L. de Broglie) выдвинул гипотезу, что электрон
(и другие микрочастицы) не является классической корпускулой, но должен
обладать также и волновыми свойствами. Тем самым де Бройль обобщил
понятие эйнштейновского корпускулярно-волнового дуализма
электромагнитного излучения. Согласно де Бройлю, частице с энергией Е и
импульсом р отвечает некоторая монохроматическая волна, частота и
волновой вектор которой связаны с характеристиками частицы соотношениями
Е л, Р
со = -, к= -.
h П
Они в точности совпадают с соотношениями Эйнштейна для фотона и световой
волны. Следовательно, дебройлевская длина волны частицы
2 71%
Я ------.
р
Правило квантования для одномерной частицы получает наглядную волновую
интерпретацию:
(?-
т.е. на длине траектории должно укладываться целое число длин волн (ср. с
известным из школьного курса условием образования стоячих волн на струне
с закрепленными концами).
12
Г ипотеза де Бройля вскоре получила блестящее экспериментальное
подтверждение: в 1927 г. Дэвиссон и Джермер (С. Davisson, L. Germer)
наблюдали дифракцию пучка электронов на монокристалле никеля
(периодической атомной структуре -аналоге используемой в оптике
дифракционной решетке). Для использованных ими нерелятивистских
электронов, получивших кинетическую энергию при прохождении разности
потенциалов Ф, получаем
mv2 , . 2 7th
----= еФ, X =-------.
2 mv
Отсюда, выражая Ф в вольтах, получим длину электронной волны
, 1,2-10-7
Я =-------т=- см.
л/Ф
При Ф = 100В находим Я"10"8 см, что отвечает длине волны мягкого
рентгеновского излучения и среднему межатомному расстоянию в
кристаллической решетке. Поэтому при этих условиях дифракция электронов
должна быть аналогична открытой еще в 1912 г. дифракции рентгеновских
лучей, что и наблюдалось в действительности.
1.2. Волновое уравнение Шрёдингера
Получим уравнение для волны, сопоставляемой электрону. Примем простейшую
гипотезу, что волновое поле описывается скалярной функций времени t и
координат r = (jc,y,z) точки
наблюдения. По традиции эта функция обозначается i//(t, г) и
называется волновой функцией.
Рассмотрим сначала частный случай монохроматической волны:
ц/ - Аехр[- i{cot - к • г)].
В нашем курсе мы ограничимся нерелятивистской теорией, в которой энергия
Е свободной частицы массы т связана с ее импульсом р соотношением
Е = ^-2т '
что дает следующую зависимость частоты дебройлевской волны со от
волнового вектора к (закон дисперсии):
йк2
со =----.
2т
Для монохроматической волны имеем
13
дщ 2 2
-!- = -i(ot, V\j/ = iky/, V y/ = -\i у/,
dt
и учет закона дисперсии приводит к дифференциальному уравнению для
волновой функции
ду/ h2 2
1Й-*- =--------VV-
2m
Это и есть уравнение Шрёдингера (Е. Schrodinger) для свободной частицы,
полученное им в 1926 г. Ввиду линейности этого уравнения {параболического
типа) оно выполняется для произвольной суперпозиции монохроматических
волн:
y/(t, r) = J-
d3k
C(k)
e
{2ж)ш
представляющей собой общее решение.
Возникает вопрос о связи уравнения Шрёдингера (УШ) и уравнений
классической механики. Заметим, что фаза монохроматической волны связана
с решением S(t,r) уравнения Гамильтона-Якоби (УГЯ) для свободной частицы
^l + ±(ySf=0 dt 2т
очевидным соотношением
S = -Et + р • г = -h(cot - к • г),
а сама волновая функция выражается через S в виде
у/ = QiS/h.
Подставив это выражение в УШ, получим для S уравнение
-+-(vs)2--V2S=0,
dt 2т 2т
которое отличается от УГЯ дополнительным слагаемым, пропорциональным
постоянной Планка h, и эквивалентно УШ. В частном случае, когда S -
линейная функция г, это слагаемое обращается в нуль. В общем же случае УШ
для у/ переходит в УГЯ для S только
в (формальном) пределе h -" 0.
Используем установленную связь УШ и УГЯ, чтобы найти УШ для частицы,
движущейся в потенциальном силовом поле U(t,г). Запишем соответствующее
классическое УГЯ:
55 i-evsj
+-(vsf +t/=0.
dt 2m
f
= CXD
u
(i \
Перейдем к новой функции y/ = exp-S . Для нее получаем: 14
v^=^(v5V. vV = - At(vs)2-mv2s]y/.
dt n dt n n
В силу УГЯ для S функция у/ удовлетворяет нелинейному уравнению. Однако
для объяснения явлений интерференции и дифракции необходимо выполнение
принципа суперпозиции. Поэтому уравнение для у/ должно быть линейным. Оно
следует из квантового обобщения уравнения Гамильтона-Якоби (КУГЯ)
