Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
выхода, характерная для данного вещества) и не зависит от интенсивности
излучения, что противоречит классической теории, но подтверждается
экспериментом.
4°. Эффект Комптона
В 1922 г. Комптон (A. Compton) обнаружил увеличение длины волны Л
рентгеновского излучения вследствие его рассеяния электронами вещества.
Согласно же классической теории длины волн падающего и рассеянного
излучения должны совпадать. Теория эффекта была построена Комптоном и
независимо Дебаем (P. Debye) на основе фотонной гипотезы Эйнштейна.
Взаимодействие излучения с электроном сводится к упругому столкновению
фотона с покоящимся электроном. При этом импульс фотона определяется в
виде
р =йк.
Здесь волновой вектор
п - единичный вектор в направлении распространения монохроматической
волны, соответствующей фотону. Это
определение - следствие того, что величины
(а, ^ (Е Л
-,к и р** = -,Р
Vс ) 1с )
образуют 4-векторы относительно преобразований Лоренца (см. первую часть
курса физики).
Запишем законы сохранения энергии и импульса для указанного процесса
столкновения:
hco + тс2 = hco' + Е',
Йк = Йк' + р',
где Е' = yjm2c4 + с2р'2 - энергия электрона после столкновения. Отсюда
получаем частоту рассеянного фотона:
, СО
(О =-----г-------------,
1 + -^-(l - cos#) тс
где в- угол между кик' (угол рассеяния). Учитывая связь частоты и длины
волны,
X = 2 71 с / со,
находим изменение длины волны при рассеянии:
9
20
АЯ = Я' -Я = 4л%р sin
2
Здесь введена комптоновская длина волны электрона
%е = - = 3,86-10"nCM. тс
Для рентгеновского излучения (Я ~ 10_9см) получаем
- <4л-^~0Д,
Я Я
т.е. вполне заметный эффект. Для видимого света (Л ~ 10"5см) эффект
гораздо меньше (~10-5). Найденная зависимость изменения длины волны от
угла рассеяния прекрасно согласуется с экспериментом.
5°. Волновые свойства электронов
Итак, электромагнитное излучение обладает как волновыми, так и
корпускулярными свойствами (корпускулярно-волновой дуализм). Этот дуализм
неразрывно связан с существованием постоянной Планка h - кванта действия.
Квантование действия можно получить, обобщив планковское правило
квантования энергии осциллятора. Запишем гамильтониан осциллятора -
интеграл движения:
Я(р,?) = |1 + ^ = Я,
2т 2
где q и р - координата и импульс. Отсюда видно, что его фазовая
траектория - эллипс с полуосями а = л!2тЕ и 2> = л/2Ё7 тсо2. Площадь
эллипса паЪ = 2пЕ1 со равна контурному интегралу по фазовой траектории (в
классической механике он называется переменной действия):
= 2 тгНп,
§pdq
где учтен планковский постулат. Мы получили правило квантования
произвольной одномерной системы, совершающей периодическое движение. Оно
впервые было выведено самим Планком.
В 1913 г. Бор (N. Bohr) применил это правило к атому водорода, рассмотрев
частный случай движения электрона в кулоновском поле ядра по круговой
орбите. Выбрав в качестве координаты азимутальный угол q>, для
соответствующего канонического
импульса р9 - интеграла движения - получаем условие квантования:
10
2 ж
J Pydq) = 2лр(р= 2л nh, или pq)=rih.
о
Для частицы массы т, движущейся со скоростью V по окружности радиуса г (в
плоскости (jc, _у)), имеем p(p=mvr, т.е. р - Z-
компонента момента импульса, или углового момента, L = mr х v. Таким
образом, h - квант углового момента.
Учтем уравнение движения электрона с зарядом -е в
кулоновском поле ядра с зарядом е
т
2 2
V е
2 '
Г Г
и квантование момента: mvr = nh. Отсюда находим квантованные значения
энергии электрона в атоме водорода:
г те4 1 1 о а
п 2? ^ I, 2, 3,... .
2 П п
Так Бор пришел к выводу о существовании дискретного множества
стационарных состояний атома с энергиями Еп.
Далее он предположил, что излучение атома возникает при его переходе из
одного стационарного состояние п в другое п'(с меньшей энергией). Частота
соответствующей спектральной линии определяется правилом, следующим из
закона сохранения энергии:
со, =-(Е -Е
пп л. V п п/
П
Это и есть знаменитое правило частот Бора. В соответствии с гипотезой
Эйнштейна при переходе излучается фотон с энергией hcon,n.
Применив правило частот к атому водорода, Бор получил формулу Бальмера,
найдя при этом выражение для постоянной Ридберга через фундаментальные
физические постоянные:
R те'
2Й3 '
Вычисленное значение R прекрасно согласуется со значением, полученным из
спектроскопических измерений.
Дальнейшее развитие теории Бора потребовало найти методы квантования
систем с несколькими степенями свободы. Важный класс таких систем -
квазипериодические системы с разделяющимися переменными. В этом случае
правила квантования применяются к каждой независимой паре канонических
переменных
§Pidqi=27rhni, i = l,/.
11
Таким образом, число вводимых квантовых чисел ni равно числу степеней
свободы /. Условия квантования квазипериодических систем были
сформулированы независимо Вильсоном и Зоммерфельдом (W. Wilson, A.
Sommerfeld) в 1915-16 г. Применение этих условий к эллиптическим
электронным орбитам в атоме водорода дало известный результат Бора для
