Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
означает неосуществимость такого состояния и приводит к принципу Паули
(W. Pauli, 1924-25), сформулированном им первоначально для электронов: в
одном и том же одночастичном состоянии не может находиться более одного
фермиона.
Подчеркнем, что принцип Паули - следствие антисимметричности волновых
функций, и поэтому он справедлив только для фермионов.
11.3. Система двух электронов
Волновая функция двухэлектронной системы удовлетворяет условию
антисимметрии:
Определим сначала оператор спина системы:
§"=V>.
2
Здесь индексы (1) и (2) нумеруют спиновые подпространства отдельных
электронов в спиновом пространстве системы С4 = С2 (r)С2. В каждом из
подпространств С2имеем базисные векторы:
и{п) =
А
Kb
которые являются собственными векторами операторов !§-^2и s[n\ В
пространстве С4 в качестве базиса можно выбрать 4 вектора
АЧ ЛЧ ЛЧ
Удобно выбрать новый базис, состоящий из собственных векторов операторов
квадрата полного спина и его проекции на ось z:
83
^=^(а(.)+ст(2)^=^(з/ + ст(.).ст(2));
4ЦН" + Стй).
Замечание. Мы используем здесь сокращенную запись операторов
двухчастичной системы. Точная запись, например, оператора проекции спина
такова:
?=!(<Т3(r)/+/(r)<7 з).
Легко проверить, что указанный базис имеет вид:
Ж,.-, =
zhl =U%{2),
Zo,o = -j^(u(1)d(2) -d(1)u(2}).
Смысл индексов векторов %s^ таков:
&ZS4 =k2S(S + , §'Xs4 = h(Xsi.
Прямая проверка проводится с помощью формул:
(73и - и, cr3d - -d;
сгхи = d, axd - и;
Например,
(7 2 и - id, с 2 d - -ш.
§2Zi,i = - (з/ + сг^сг^ + сг^сг^ + сг^2))и{])и{2) -
= ^{3+ d(1)^(2) + id(r)id(r) + u%V) = 2h2ZlA; = |Й1} + ^2))u%{2) = |(l +1)
u{\{2) = hzhl.
Следовательно, S = 1,? = 1.
С точки зрения теории групп мы доказали, что
А/2 (r) A/г =D0(r)Dl.
Это частный случай теоремы о разложении прямого (тензорного) произведения
неприводимых представлений D} группы SO(3) в
прямую сумму неприводимых представлений:
84
Базисные векторы в пространстве представления Dj размерности
Они являются собственными векторами операторов момента $2и $z (см. п. 7).
Коэффициенты разложения C(j\j2JM \ j]j2m]m2) называются коэффициентами
Клебша-Гордана. Мы нашли их явный вид для частного случая j\ = j2 = 1/2.
Введя дискретные спиновые переменные для электронов ^ = +1/2 и ?2 = +1/2,
запишем найденные базисные векторы Zsc в
виде функций двух переменных:
При этом три симметричные функции Хх^х^г) образуют базис в пространстве
Dx, а антисимметричная функция %0 0 , ?2) - в D0.
11.4. Атом гелия
Применим полученные выше результаты для анализа общей структуры спектра
атома гелия 4 Не - системы, состоящей из
положительно заряженного ядра с Z = 2 и двух электронов.
В приближении бесконечно тяжелого ядра гамильтониан атома гелия сводится
к системе двух электронов, взаимодействующих между собой и с неподвижным
кулоновским центром с зарядом -2е:
К
2 те
где гп - [г, -г2| - расстояние между электронами. Подчеркнем, что
спиновые взаимодействия в нерелятивистском приближении не учитываются.
85
Решение стационарного уравнения Шрёдингера
(й-е)^^2)=о
можно искать в виде разложения по базисным спиновым функциям, найденным в
предыдущем разделе:
^(г,, ^; Г2 ,^2 ) = (Г1 " Г2 )ls,c (? '^2 )¦
s,c
Из антисимметричности полной функции у/ и свойств симметрии спиновых
функций х следует, что координатные функции обладают определенной
симметрией:
<PlAri'r2)=-<PlAr2'ri)' <PoAri'r2)=<PoAr2'ril
т. е. принадлежат подпространству Н А (Н s) пространства Z2(r6) при S =
\(S = 0). Эти функции удовлетворяют тому же уравнению Шрёдингера, что и
у/:
[fi-E)(psA г15г2) = 0,
причем симметричная и антисимметричная функции принадлежат, очевидно,
разным собственным значениям.
Таким образом, уровни энергии атома гелия зависят от полного спина S даже
в пренебрежении спиновыми взаимодействиями в гамильтониане. Эта
зависимость - следствие принципа
тождественности и обусловлена свойствами симметрии
координатных волновых функций.
Можно доказать, что основному состоянию атома гелия отвечает симметричная
функция <р0 0 (i^, г2), и спин S = О.
Переходы между состояниями с различными спинами с испусканием или
поглощением фотонов оказываются
маловероятными. В дипольном приближении вероятность перехода (см. п. 10)
обращается в нуль, так как равен нулю матричный элемент оператора
дипольного момента между состояниями различной симметрии:
(<РлХг1 +r2)(ps) = \ d3X]d3x2(p*A (г, ,r2 )(r, + r2 )(ps (г,, г2) = 0.
Поэтому спектр излучения атома гелия таков, как если бы существовали две
разновидности гелия - парагелий (5' = 0) и ортогелий (S = 1). Уровни
энергии ортогелия имеют трехкратное вырождение по спиновому числу
проекции полного спина Sz
(2S + 1 = 3).
Замечание. Спиновые взаимодействия расщепляют триплетные уровни ортогелия
(в отличие от синглетных уровней парагелия) на три близких подуровня (за
исключением уровней, отвечающих
86
нулевому полному орбитальному моменту системы двух электронов: 1 = 0).
ЗАДАЧИ
1. Состояние свободной частицы при t = О имеет вид: ^(0,х)= А ехр(- х2
