Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борисов А.В. -> "Основы квантовой механики" -> 22

Основы квантовой механики - Борисов А.В.

Борисов А.В. Основы квантовой механики — М.: МГУ, 1999. — 88 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 .. 24 >> Следующая

соответственно Н = L2 (R3iV )=L2 (r3 (r) Z2 (r3 )
и
Н =Z2(R3iV)(r)C2iV =(z2(r3)(r)C2)(r)---(r)(z2(r3)(r)C2).
Эксперимент показывает, что эта структура пространства состояний Н
справедлива только для систем различных частиц. Волновая функция системы
где
79
?п=(Тп>?п)
- набор пространственных координат гп и дискретной спиновой
переменной п -ой частицы.
Скалярное произведение в этом пространстве
В квантовой механике одинаковые частицы принципиально неразличимы.
Постулаты теории, сформулированные в п. 4, дополняются новым - принципом
тождественности (неразличимости одинаковых частиц).
Принцип тождественности: пространством состояний системы N одинаковых
(тождественных) частиц является пространство Н s
симметричных функций или пространство Н А антисимметричных функций.
Определим соответствующие функции y/s и у/А. Для этого рассмотрим группу
перестановок N элементов Pw. Ее элементы перестановки
а 2,..., n'
р =
1с 1с 1с
\п'\ ? Л2 5 • * • 5 N J
k(=l,N; к(Фк,
)
причем единичныи элемент - тождественная перестановка
Г1, 2,..., ЛЛ
U 2.- ffj
а произведение перестановок Р2Р, - результат двух последовательных
перестановок Р1 и Р2. В пространстве волновых
функций Н перестановке Р отвечает оператор F(r), действующий так:
fV(?,?2
Очевидно, что F(r)- унитарный оператор и отображение Р -> F(r) есть
представление группы Pw в пространстве Н .
В Н выделяются два инвариантных относительно операторов F(r)
подпространства симметричных и антисимметричных функций:
Hs=Vs}> Ma={Va}-
Эти функции - собственные функции операторов перестановки:
>?2
*?Ч'а{^2,-~^ы) = 3рЧ/а{^2,-~?ы\
80
Здесь введена четность перестановки 5Р =(-l)"p =+l(-l) для четного
(нечетного) числа пр последовательных перестановок двух частиц, к которым
сводится данная перестановка Р .
Очевидно, что Н А1И s. В случае N = 2 имеем
Н =н,(c)н5.
Действительно,
^1^2)=^kfc^2)+^2^l)]+^fe^2)-^2^1 )] = Vs+Va-
При N> 3 имеются и другие, более сложные, чем Н А и Н s, инвариантные
подпространства, но они не имеют физических приложений.
Частицы, описываемые функциями y/s (у/л), называются
бозонами (фермионами) и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна (Ферми-
Дирака).
В квантовой механике постулируется следующая связь спина и статистики:
частицы с целым спином (5 = 0,1, 2,...) являются бозонами, частицы с
полуцелым спином (,s = l/ 2,3/2,5 /2,...) -фермионами.
Замечание. В квантовой теории поля указанная связь спина и статистики
представляет собой теорему, доказанную В. Паули (W. Pauli, 1940) на
основе принципа причинности и лоренц-инва-риантности.
Статистика составных тождественных частиц (например, атомных ядер)
определяется четностью числа входящих в их состав фермионов. Например,
дейтрон ( ядро атома дейтерия D=2H = (рп)), состоящее из двух частиц со
спином 1/2, протона и нейтрона, является бозоном.
Гамильтониан системы N тождественных попарно
взаимодействующих частиц массы т во внешнем поле V(r) имеет вид:
+?г(г.)+хи(г.-о,
п=1 ^т п=\ п<п'
где U- потенциал парного взаимодействия. В силу одинаковости масс частиц
и независимости потенциалов V и U от номеров частиц
оператор перестановки F(r)- интеграл движения:
[^,^ = 0.
Следовательно, в процессе эволюции системы согласно уравнению Шрёдингера
81
ifi
ду/
dt
= Йу/
четность волновой функции не изменяется. Иначе говоря, связь спина и
статистики не разрушается динамикой, как и должно быть в непротиворечивой
теории.
Рассмотрим важный частный случай системы невзаимодействующих частиц (С/ =
0) во внешнем поле. Г амильтониан такой системы представляется в виде
суммы гамильтонианов отдельных частиц:
$ = Д.=~^+К(г").
n=i 2т
Решение стационарного уравнения Шрёдингера, [й-Е^у/ = О, можно искать в
виде произведения одночастичных волновых функций:
п=1
=°> е=И?п
п=1
Функция у/п не удовлетворяет принципу тождественности, хотя и является
решением УШ. Поскольку оператор перестановки -интеграл движения, то
функция F^у/п - также решение УШ:
(Й~е) F^n =0.
Поэтому правильные решения определенной четности y/s{y/A) получаются
путем составления (анти)симметричных линейных комбинаций функций F^у/п.
11.2. Принцип Паули
Для системы фермионов получаем антисимметричную функцию, которую можно
записать в виде определителя Слэтера (J. Slater, 1929):
vMi) vMi)'" vMn)
1
4n\
Vn^Vn^i)"' Vn^n) Здесь нормировочный коэффициент включает N\ - число
перестановок среди N частиц.
Интерпретация функций у/п и у/ А такова.
82
Функция у/п ("неправильная") описывает состояние системы, в котором 1-я
частица находится в одночастичном состоянии у/х, 2-я частица - в
состоянии у/2 и т. д.
Правильная функция у/л отвечает состоянию, в котором N частиц заполняют N
одночастичных состояний, причем нельзя указать, какая частица в каком
именно состоянии находится, что согласуется с принципиальной
неразличимостью тождественных частиц (им невозможно приписать номера).
Если среди одночастичных функций у/п есть одинаковые, то у/А = 0 в силу
известного свойства определителя, содержащего одинаковые строки. Это
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 .. 24 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed