Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
функцию:
^100 (г )= Се-7-.
Нормируем ее:
00 00
\C\2\dQ.\drr2Q-2rlaB =4n\C\2(aBl2f\dx х2 q~x =1. о о
Итак, нормированная волновая функция основного состояния имеет вид:
?т{г)={^агвУП^г1ав ¦
Плотность вероятности обнаружить электрон на расстоянии г от ядра равна
w{r) = ^dQ.r2\y/]\ =4а~вг2оГ2г1ав .
Максимум вероятности достигается на расстоянии г = гт,
определяемом из условия
Получаем в результате
*^=о.
dr
Гт =aB-
Следовательно, радиус первой боровской орбиты - расстояние от ядра, на
котором вероятность обнаружить электрон максимальна. Поскольку при г"ав
плотность w(r) экспоненциально мала, то
можно сказать, что эффективный размер атома водорода порядка ав ~ 10"8
см.
Мы видим, что в основном состоянии распределение по координатам
сферически симметрично. Это не так в возбужденных состояниях при I ф 0:
И<М~|У'|2 ~(Р'(СО80))\
Замечание. Угловое распределение вероятности универсально, т.е. одинаково
для всех сферически-симметричных потенциалов (см. явный вид некоторых
сферических функций Y(tm) в п. 7). Что же касается вырождения уровней
энергии по орбитальному числу ?, то оно характерно только для двух типов
потенциалов и(г): кулоновского (U~\/r) и потенциала трехмерного
осциллятора (U ~r2). В.А. Фок (1935) показал, что "случайное" вырождение
по
76
I в кулоновском поле объясняется наличием более широкой, чем SO(3),
группы симметрии SO(4). Это приводит к дополнительному интегралу движения
Я = - + ---(йх?-?хй), г 2 та
причем [j?, Й2 ] ф 0.
Наблюдаемая^ - аналог известного в классической механике вектора Рунге-
Ленца, или вектора эксцентриситета: он направлен от фокуса эллиптической
орбиты по большой оси к наиболее удаленной точке траектории, а его модуль
равен эксцентриситету эллипса.
10.2. Учет движения ядра
Учтем теперь конечность массы М ядра атома. Тогда получаем гамильтониан
системы двух частиц - электрона и ядра:
е
Введем новые координаты - относительные и центра масс:
r = r1-r2, R =
те+М
Соответствующие операторы импульсов имеют вид:
f=-iWr, f* = -*WR.
С учетом соотношения
s er.v.+i*.v.
дхк дхк г дхк R
получим гамильтониан в новых переменных:
|2
Здесь
т"+ М
приведенная масса,
ц = -----------------= те
М0 =те+М
- полная масса атома.
В силу = 0 собственная функция гамильтониана W
представляется в виде произведения функции, отвечающей
77
движению центра масс с заданным импульсом Р, и волновой функции
относительного движения у/:
^(r,R) = exp
П
PR
fKr)-
В системе центра масс ( Р = 0 ) для у/ получаем уравнение
У
¦ +
и(г)
i//(r)= Ei//(r).
В результате мы пришли к уже исследованной задаче: движение частицы массы
ц в центральном поле (/(г)(в нашем случае -
неподвижного кулоновского центра U{r) = -а/г). Таким образом, как и в
классической механике, задача двух тел сводится к задаче одного тела.
Спектр энергии определяется известной формулой с заменой там массы
электрона те на приведенную массу fi, т.е. следующей заменой постоянной
Ридберга, отвечающей бесконечной массе ядра:
4 4
т е ие
R = R~=^^RM=^гг
= R
М
2Й3 " 2h~
Уточненный спектр излучения водородоподобного атома принимает вид:
1 1 '
ел.,. = ZLR
П1,
Учет движения ядра позволил объяснить некоторые эффекты. Рассмотрим серии
Бальмера {п - 2) обычного водорода Н=)Н = (р) и его изотопов дейтерия
D=^H = (рп) и трития Т=^Н = (рпп), где в скобках указан протон-нейтронный
состав ядер:
1 '
1
И
,22
п2;
=
1
,1 = H,D,T; S^= 1
1840 3680 5520
Мы видим, что поправки к спектру на конечность массы ядра д(
различны для разных изотопов. Следовательно, изотопы могут быть
обнаружены спектроскопическими методами, так как их соответствующие
спектральные линии немного сдвинуты относительно друг друга. Это и было
сделано фактически. Оказалось, что в естественной смеси изотопов,
природной воде, относительная концентрация изотопов водорода такова: D/H*
1/6800, Т/Н"10"18.
78
Другое важное приложение теории - объяснение обнаруженной в спектре
излучения Солнца спектральной серии Пикеринга. Она приближенно
описывается формулой, похожей на формулу Бальмера для атома водорода:
со
(Н) _
R
н
1
п
1 /
но содержит "лишние" линии, так как квантовое число п] принимает не
только целые, но и полуцелые значения:
щ =5/2, 3,7/2, 4, 9/2,... , которые запрещены для водорода. Правильная
интерпретация этой серии была дана, когда более точные спектроскопические
измерения показали, что линии несколько сдвинуты по сравнению с
водородными линиями так, что в указанной формуле следует сделать замену
= К
1
\
1-v 1840
1
\
1-V 7360
Полагая там же пг=п/2, получим формулу, не содержащую полуцелых квантовых
чисел:
со
(Не) _
4 п
= 2ZR
Не
1 1
П2)
п = 5,6,1,.
Она описывает спектральную серию однократно ионизованного атома гелия
2Йе+ = (ррпп), т.е. водородоподобного иона с Z = 2.
11. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
11.1. Системы многих частиц
Пространство состояний одной бесспиновой частицы н =z2(r3), частицы со
спином 1/2 (в единицах h ) -Н = L2(r3)(r) С2. Для системы N частиц имеем
