Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
v^Ce2p,
т.е. для произвольного положительного параметра Л имеем при р -> оо
неприемлемую асимптотику радиальной функции:
X = CPmqp .
Однако существуют такие дискретные значения Л, при которых функция v(p)
становится полиномом:
Л = l{nr + ? +1), пг = 0,1,2,....
Тогда аПг * 0, ак = 0 при к > nr +1.
Вспомнив определение
g _ _2теа2
П2Е '
приходим к дискретному спектру атома водорода и водородоподобных ионов:
_ т,а2 1
я = 1,2,....
2Й и
Здесь введено главное квантовое число п, связанное с радиальным пг и
орбитальным i квантовыми числами соотношением
п = пг + ? +1.
При заданном и орбитальное число ? может принимать и значений:
i = 0,1,..., п-\.
Соответствующие волновые функции стационарных состояний имеют вид:
?пы (г) = РЬрУп1 (р)У/' [0, ф),
где
р = кпг, кп =
2те 77
.2 и
1/2 1 теа 1
Г п
К
Полином vnt (/?) имеет степень пг = п - ? -1, равную числу его нулей
{узлов). Коэффициенты ак при к > 0 выражаются через а0 с помощью
полученной выше рекуррентной формулы, а а0
определяется из условия нормировки:
00
Kfjdpp^le^vl,(ph 1-
О
Замечание. Можно показать, что vnl выражаются через обобщенные полиномы
Лагерра
73
dxk
и нормированная волновая функция имеет вид:
(г) = 2[и(" ~t-1)!(" + iWn к3,п{2рУ s'Qll, (2 р).
Мы видим, что собственные значения энергии Еп вырождены с кратностью
rf"=SS(M+1)="2-
t=О m=-t
Учет спина (две возможные проекции спинового момента на заданное
направление) дает кратность dn = 2п2, но спектр атома водорода в теории
Паули не изменяется, так как отсутствует взаимодействие спинового
магнитного момента с магнитным полем.
Учет релятивистских эффектов (порядка (Wс)2 ~ (е2 /hcf ~ 5 • 10"5 в атоме
водорода) приводит к появлению тонкой структуры спектра. В
частности, возникает спин-орбитальное взаимодействие ~ §¦•€, т.е.
взаимодействие спинового магнитного момента с внутриатомным магнитным
полем, источником которого является орбитальное движение электрона.
Рассмотрим подробнее атом водорода (Z = 1). Мы имеем атомную единицу
длины
1 ъ2
ав= - = -- = 0,529 • 10"8 см кх тее
- боровский радиус (в полуклассической теории это радиус первой
боровской орбиты: см. п. 1) и атомную единицу энергии -ридберг:
4
jYi о
Ry = TiR = = 2,18 • 10"п эрг = 13,6 эВ,
2h
где R - постоянная Ридберга, входящая в выражение для спектральных частот
излучения.
Энергия основного состояния атома водорода (главное квантовое число п =
1) равна
Е] = -Ry = -13,6 эВ.
Величина / = |^i| называется потенциалом ионизации. Он равен
энергии связи электрона в атоме, определяемой как работа, которую нужно
совершить, чтобы удалить электрон из атома.
Квантовая электродинамика (теория, объединяющая квантовую механику
электрона и квантовую теорию электромагнитного поля на основе теории
относительности) подтверждает гипотезу Бора о частотах спектральных
линий:
Ь(r)п'п=Еп-Еп'> Еп>Еп'•
Используя полученное выражение для Еп, приходим к известной формуле
Бальмера (п.1):
' I О
By П
пп
12 2 \п п J
п <п.
Фиксируя п' и меняя п, получим различные спектральные серии. Укажем
некоторые из них: п' = 1 - серия Лаймана
(ультрафиолетовая часть спектра излучения); п' = 2 - серия
Бальмера (первые 4 линии попадают в видимую часть спектра); п' = 3 -
серия Пашена (инфракрасная часть спектра).
Важные характеристики атома - вероятности переходов между стационарными
состояниями wn,n. Они определяют интенсивности соответствующих
спектральных линий, т.е. мощность излучения Wn,n на частоте соп,п.
Заметим, что величина тп,п =1/ wn,n имеет смысл среднего времени жизни
электрона на уровне Еп относительно перехода и -> и', или временного
интервала, в течение которого испускается фотон с энергией Тноп,п.
Поэтому
W, - hco , w , .
пп пп пп
Согласно квантовой электродинамике в главном (дипольном) приближении
(малым параметром является отношение размера атома к длине волны
испускаемого фотона) вероятность перехода выражается через матричные
элементы гп,п оператора координаты
электрона:
W, =^|г,1\
пп 3 п п
Ъпс
Здесь матричный элемент представляет собой интеграл, содержащий
квадратичные комбинации волновых функций:
*n'n={Vn''rVn)=\d'XVl'rVn •
Для атома водорода индекс состояния п обозначает набор трех квантовых
чисел (см. выше): п = (п,?,т).
Для некоторых переходов матричный элемент, а вместе с ним и интенсивность
соответствующей спектральной линии, могут обращаться в нуль. Условия, при
которых гп,п ф 0, называются
правилами отбора. Можно показать, что для атома водорода (и
водородоподобных атомов) они имеют вид:
А? = ?'-? = ±\, Ат = т' -т = 0,± 1, причем Ап = пг -п произвольно
(1,2,...). Правила отбора выражают закон сохранения момента импульса при
испускании фотона (спин его равен h ) электроном.
75
Рассмотрим основное состояние атома водорода у/ш (г): п = \, ? = О, т =
0. Угловая часть волновой функции 70° = 1/ .
Для радиальной части i?10 = е"рУ10 имеем пг = п-?-1 = 0, т.е. v10 полипом
нулевой степени. Учитывая связь р = кхг, кх=\!ав, получаем полную
