Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
[ДЁ] = 0.
Покажем это подробнее, получив следующее представление оператора квадрата
импульса:
68
Й2 д ^=_Й2У2= Я
г дг
г В л -2_ дг
+ -
.2 '
Имеем:
Ё2 =(гх^)2 = -(^х г) • (г X ^) = -^ • (г X (г X ^)) = -^ • (г(г • ^) -
г2^). Из фундаментального соотношения [Д,х|Я] = -гЙ^И|Я следуют
коммутаторы
tf.r,r.fl = -3a, [f,r2] = -imr,
используя которые, находим
Ё2 = г2§2 - (г • §f + ihr • ? .
Далее:
г • § = -ihr • V = -ihr-, (г • = -Й
дг
2 \
0 2 Э
г- + г --дг дг
В итоге получаем приведенное выше выражение для ? , откуда сразу видно,
что [Ё,?2 ] = 0.
Стационарное уравнение Шрёдингера {Й-е)\// = 0 для частицы в центральном
поле принимает вид:
й2 д ( я Л г2 -
2тег2 дг 1 дг)
+ + U(r)
у/ - Ец/.
2 тег2
Так как момент Ё- интеграл движения, то любая собственная функция
гамильтониана представляется в виде произведения радиальной функции,
зависящей только от г, и сферической функции (см. п. 7):
у/(г, в, (р) = R(r)Y(tm) (в, (р), т.е. является собственной функцией полного
набора наблюдаемых (спин мы не учитываем) Й, Ё2, 3z.
Для радиальной функции получаем уравнение
й21(1 + 1)
й2 d г г2 dN
2т г2 _ е dr Г V dr ,
+ ¦
2т/'
• + Е/(г)
R = ER
Удобно ввести новую функцию согласно
г
Она удовлетворяет радиальному уравнению Шрёдингера:
Й2 d2
¦ +
и'(г)
Х = Е%-
где введен эффективный потенциал
69
2 mer
Мы получили уравнение Шрёдингера для движения частицы на полупрямой (0 <
г < оо) в потенциальном поле Ut{r).
Замечание. Даже для свободной частицы (U = 0) в состоянии с заданным
моментом эффективный потенциал отличен от нуля при ?ф0 и совпадает с
центробежным потенциалом h2l{l +1)/2mer2.
Условие нормировки для %(г) совпадает с условием нормировки одномерной
волновой функции в силу ортонормированности сферических функций:
00 00
J</3jc|^| = Jdrr2\R\2 - Jdr\x\2 = 1. о о
Для физических приложений интерес представляют потенциалы, для которых
выполняется условие
r2U(r)^> 0 при г О,
т.е. не более сингулярные, чем 1/ r2~e, s > 0.
Спектр радиального гамильтониана
2те dr 2тег
хорошо изучен для широкого класса потенциалов U(r).
Выясним асимптотику радиальной функции %(г) при г -> 0. Оставляя наиболее
сингулярный член в радиальном УШ, получаем:
x'-i(t+i)r-1z = о.
Ищем решение в виде
Z = Cr'.
Получаем для степени s уравнение
4s-l)-^ + l) = 0,
откуда s = -?,? +1, т.е.
%~ г или х ~ г •
Учитывая, что полная волновая функция имеет вид
v=^Y;{e,<p),
Г
из требования непрерывности у/ получаем граничное условие
*(о)=о.
Следовательно, правильное асимптотическое поведение х таково: %(г) = Сгм
при г -^ 0.
70
10. АТОМ ВОДОРОДА
10.1. Электрон в поле кулоновского центра
Задача об атоме водорода - одна из фундаментальных проблем квантовой
механики, успешное решение которой способствовало дальнейшему развитию
теории.
Атом водорода состоит из тяжелого ядра (протона массы тр ~ 1840те) и
движущегося в его кулоновском поле электрона.
Сначала будем считать ядро бесконечно тяжелым, заменив его неподвижным
кулоновским центром (конечность массы ядра учтем позже). Тогда
гамильтониан атома можно записать в виде гамильтониана электрона в
центральном поле:
2т г
е
где а = Ze2. Здесь Z - заряд ядра в единицах заряда электрона, причем Z =
1 отвечает атому водорода Н, a Z = 2, 3,... -
водородоподобным ионам Не+, Li++,... .
Используя результаты п. 9, запишем волновую функцию стационарного
состояния электрона, которая является собственной для полного набора
наблюдаемых Й, Й2, 3Z:
Для радиальной функции х получаем уравнение
а П21(1 + \)
d2% 2тг dr2 П2
Е + -
2т г
Х = °-
V е
Нетрудно показать, что при Е > 0 спектр гамильтониана непрерывен. В этом
случае |^| < о°, но Ц^Ц =00, что отвечает
инфинитному движению электрона, и атом водорода как связанная система
электрона и ядра не существует. Мы ограничимся поэтому рассмотрением
дискретного спектра: Е < 0.
Обозначим
2 2т Е
к2 =------е->0
П2
и введем вместо г безразмерную переменную
р = кг.
Тогда уравнение на собственные значения примет вид:
71
d2Z dp2
+
-l + i-
+ 1)'
где введен параметр
Л =
2т а Ь2к
2т а7
П2Е
1/2
Рассмотрим асимптотику ограниченного решения (|^|<о°). При р-> 0 имеем
(см. п. 9)
Х = Хо = СоРм.
При р -> оо получаем приближенное уравнение
xl ~Х* =0,
откуда
Х = Х* =Саое~р.
Поэтому ищем решение в виде
Х = Р^
Подставляя его в уравнение на СЗ, находим для функции V уравнение:
И + 2^±1-1
I Р
Решение ищем в виде ряда:
? + -[Я-2(? + ф=0. Р
k=о
причем а0 ^ 0, чтобы обеспечить правильную асимптотику % при р-> 0.
Подставив ряд в уравнение, после очевидных замен индекса
суммирования к получим:
00
? Pl~' fo*. № + 0¦+ 2(* + IX* +1)] ¦- ¦я* № ¦+ * +1) ¦- Л} = о.
к=0
Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда:
2(к + 1 + \)-Л (к + 1)[к + 2(? + 1)]'
Ряд сходится при всех р по признаку Даламбера:
1шА^ = 0.
ак
Его асимптотическое поведение при больших р определяется коэффициентами
ак при к" 1:
ак+х =
.а,
12
2 2к
ak+i=-j-.ak^ak=c-rr^ к +1 к\
