Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
область неоднородного магнитного поля и обнаружили, что пучок
расщепляется на два пучка. Результаты опытов можно объяснить,
предполагая, что атом водорода в основном состоянии обладает некоторым
магнитным моментом. Тогда гамильтониан нейтрального атома,
рассматриваемого как единая частица с нулевым электрическим зарядом и
взаимодействующего с магнитным полем, записывается в виде (ср. выше):
$ = -Ш в,
2т "
где В = В(г) - макроскопически неоднородное магнитное поле. На основе
этого гамильтониана можно показать, что если z -компонента поля Bz
значительно больше компонент Вх и Ву, то на
атом, влетающий в область поля перпендикулярно оси z, начинает
действовать средняя сила
F = М -*-е . z dz z
Эксперимент показал, что проекция магнитного момента атома в основном
состоянии на заданное направление может принимать только два значения:
Mz = ±Мв"
где цв- введенный выше магнетон Бора. Учтем, что в основном
состоянии орбитальный момент электрона равен нулю, а масса ядра атома
водорода (протона) значительно больше массы электрона.
65
Тогда естественно предположить, что электрон обладает собственным
магнитным моментом ц, величина которого равна цв (по
определению это максимальное значение проекции fiz). При этом магнитный
момент электрона пропорционален его собственному моменту импульса (спину)
S:
где коэффициент пропорциональности gs - спиновое гиромагнитное отношение.
Результаты эксперимента можно интерпретировать так:
Mz=Mz=±MB=gsSz' sz=+^ gs= - = 2gL"
2 тес
где учтено, что gs < 0(е < 0).
Заметим, что гипотезу о существовании спина электрона выдвинули Уленбек и
Гаудсмит (G. Uhlenbeck, S. Goudsmit, 1925), предложившие модель электрона
в виде заряженного шарика, вращающегося вокруг своей оси. Хотя это
полуклассическая модель объясняет пропорциональность магнитного и
механического моментов (см. выше выражение для магнитного момента
вращающегося шарика), но дает неправильное значение спинового
гиромагнитного отношения, равное орбитальному, а из эксперимента следует
в два раза большее значение. Кроме того, эта модель противоречит теории
относительности. Действительно, приравняем магнитный момент шарика
магнетону Бора и найдем скорость точки на экваторе:
еа2 eh 5 L
---со =-----, v = (oa = -c- ,
5с 2 тес 2 а
где %e=h/mec = 3,86-10-11 см - комптоновская длина волны
электрона (см. п. 1). Следовательно, при а<%е имеем v>2,5c, т.е.
больше скорости света в вакууме (!).
Подчеркнем, что в квантовой механике электрон рассматривается как
точечная (бесструктурная) частица. Это подтверждается экспериментом и
показывает, в частности, что спин не имеет классического аналога.
8.4. Уравнение Паули
66
Спин в аппарат квантовой механики был введен Паули. Он предложил
(постулировал) для описания электрона уравнение, которое теперь
называется уравнением Паули (W. Pauli, 1927):
т-^- = Йру/, Йр=---------- ф--А + еФ -1? • В.
dt 2 те
Паулиевский гамильтониан Йр отличается от шрёдингеровского
добавлением слагаемого Фр = -|? • В, описывающего взаимодействие с
магнитным полем В = V х А спинового магнитного момента электрона,
представляемого оператором
fi = gsG = -MB<* ¦
Этот оператор введен по аналогии с оператором орбитального магнитного
момента ГЙ = gLfi.
Как уже обсуждалось выше, волновая функция электрона у/ в теории Паули
является двухкомпонентной:
|Vi'
? =
Она называется спинором и преобразуется при поворотах системы координат
по двузначному представлению группы вращений (см. выше). В частности, при
повороте на 2ж получим преобразование
у/ -^ у/' = -у/ = с17Су/.
Следовательно, для спинора этот поворот не эквивалентен тождественному
преобразованию, как это имеет место для скаляра и вектора.
Рассмотрим "вывод" уравнения Паули, принадлежащий Фейнману (R.P.
Feynman). Из основного соотношения для матриц Паули (см. выше),
" дкп + ^kns^s ¦>
следует тождество
(ст-аХст-Ь) = а-b + гст-(ахЬ), где а,Ь- произвольные векторы. Учитывая
его, запишем гамильтониан электрона в электрическом поле в эквивалентном
шрёдингеровскому виде
jg=(a'fi) +еф.
2 те
Введем теперь взаимодействие с магнитным полем по известному правилу
(это, конечно, постулат):
с
67
Тогда получим гамильтониан
fiF = ^ ' ' +еФ. 2 те
который эквивалентен гамильтониану Паули: Действительно, имеем
йг =fiP.
(п-#)2 =#2+гс-(#х#), где второе слагаемое отлично от нуля ввиду
некоммутативности компонент оператора кинетического импульса ^:
¦$] = [? --4] = ^-(s"4-stA,).
С С С
Следовательно,
или
f*x.f* = ih-В, B = VxA. с
В результате получаем:
(ст-ff)2 _ $2____________еП_
ст-В,
2т 2т 2т с
е ее
т.е. приходим к паулиевскому взаимодействию спинового магнитного момента
электрона с магнитным полем.
9. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим движение частицы в стационарном поле
U = U(r), г = |г| = ^х2+у2 +z2 .
Такое поле называется центрально-симметричным, или, коротко, центральным.
В этом случае гамильтониан
Й = ^- + и(г)
2 те
коммутирует с оператором орбитального момента:
