Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
канонического импульса Jx.
Пусть задано постоянное однородное магнитное поле В = V х А, калибровку
потенциала которого выберем в виде
А = -Bxr, V • А = 0.
2
Тогда, преобразуя квадрат кинетического импульса
§2 = §2 ~-(А-§ + §-А)+?-А2 с с
с учетом
§¦ Ау/ = (А-§)у/ -iti(4 ¦ А)у/, А-^ = ^В - (г х^),
получим гамильтониан электрона в постоянном магнитном поле и произвольном
электрическом поле Е = -VO :
Й = ^- + еФ------- В-Й + -^^(Вхг)2.
2т" 2т с 8т"с
е
Третье слагаемое в гамильтониане описывает взаимодействие орбитального
магнитного момента М электрона с магнитным полем:
в, М = -- й.
2 тес
Коэффициент пропорциональности между магнитным моментом и моментом
импульса называется гиромагнитным отношением
е
Sl =-z----•
2 тес
Взаимодействие &L имеет, очевидно, классический аналог, следующий из
классической функции Гамильтона частицы. В общем случае протяженной
заряженной системы, характеризуемой плотностью электрического тока
j(^,r), энергия ее взаимодействия с постоянным магнитным полем (А =
Вхг/2) в рамках классической электродинамики имеет вид (см. первую часть
курса):
62
Uc =-if^3Jcj-A = -M-B. сJ
Здесь магнитный момент системы
М = - \с1гхг х j.
2 сJ
Для системы N точечных заряженных частиц имеем плотность тока в виде
N
а-1
и магнитный момент
М = У-^-г хр .
/ j л Л Г л
В случае, когда все частицы имеют одинаковое отношение заряда к массе,
еа/та =е/те, получим пропорциональность магнитного и орбитального
моментов:
М = ---L, Ь = Уг хр
л / j Л г d
2тес
Вычислим магнитный момент ц, равномерно заряженного по объему шарика
радиуса а, вращающегося с постоянной угловой скоростью щ = o)ez вокруг
диаметра. Имеем для плотности заряда и тока
Зе
р = --г, j = р\, v = шхг,
4 ли
где е- полный заряд шарика. Очевидно, что магнитный момент ц || со. Тогда
получаем
2л ж а 2
ц = -J^3jcrx(coxr)=oo- ^d(p^dQsmQ^drr2{x2 +у2)=^-со.
2с 2с 0 0 0 5с
При этом магнитный момент пропорционален собственному моменту импульса (в
системе отсчета, где центр шарика массы те покоится):
е т т Г J3 3we
Ц = ~Ls=pm\d xrxv, pm=--V-2mc J 4;ra
8.3. Атом в магнитном поле
Для электрона в атоме электростатическое взаимодействие значительно
сильнее взаимодействия с магнитными полями, достижимыми в лабораторных
условиях. Поэтому квадратичным по
63
напряженности поля В слагаемым в гамильтониане можно пренебречь:
Й = Й0-М-В, Й0=^- + еФ, M = gLfi.
2 те
Пусть магнитное поле направлено по оси z: В = Bez. Учтем сферическую
симметрию электростатического потенциала, Ф = ф(\г\), рассматривая
простую модель атома щелочного металла
(вспомним школьную химию): один валентный электрон движется в некотором
центральном поле, создаваемом кулоновским взаимодействием с ядром и
распределенным по объему атома зарядом остальных электронов. Тогда
операторы Й, Й2,3Z образуют полный набор коммутирующих операторов, т.е.
имеют общую систему собственных функций у/пЫ:
=о, [й2-ьЧ{1+1)]^, =о, (4-ы)?мт =о.
Здесь собственные значения энергии имеет вид
Enim=Eni~m~-------в> т = -?,-? + \,...,?.
2 тес
Они связаны с СЗ Е^ гамильтониана Й0 (в отсутствие магнитного поля, В =
0), имеющим, очевидно, те же собственные функции, что и Й:
(jf"-E;r)Ka,= о.
Мы видим, что возникла естественная единица измерения магнитного момента,
называемая магнетоном Бора:
е\ h
Рв ~ 5
2 тес
где заряд электрона е = -\е\ < 0.
Ввиду сферической симметрии Й0 его СЗ E°nt вырождены с кратностью 21+ \,
равной числу возможных значений проекции момента на ось z. Включение
магнитного поля нарушает сферическую симметрию системы и приводит к
снятию вырождения по квантовому числу т: уровни энергии расщепляются на
2^ + 1 подуровней.
Замечание. Для чисто кулоновского потенциала в атоме водорода (Ф = -е/г)
имеется (случайное) вырождение уровней энергии по ?, которое объясняется
дополнительной, кроме сферической, симметрией этого потенциала (см. ниже
п. 10).
Итак, теория Шрёдингера предсказывает, что в магнитном поле уровни
энергии атома должны расщепляться на нечетное число
64
подуровней, образующих мулътиплет. Эксперимент частично подтверждает это
предсказание {эффект Зеемана: P. Zeeman, 1896). Расщепление имеет более
сложную структуру: оно зависит от типа атома и различно для разных
мультиплетов одного и того же атома. В частности, наблюдаются как
нечетные, так и четные мультиплеты, как если бы I было полу целым.
Более того, обнаруживается тонкая структура уровней даже в отсутствие
внешнего магнитного поля. Рассмотрим, например, уровень валентного
электрона в щелочном атоме натрия, отвечающий п = 2,1 = \ (так называемый
2р -терм). По теории
Шрёдингера имеем трехкратное вырождение уровня энергии. Эксперимент же
показывает, что этот уровень расщеплен на два близких подуровня (при В =
0 !).
Особенно наглядно противоречие теории и эксперимента проявилось в опытах
Штерна и Герлаха (О. Stem, W. Gerlach, 1922). Они пропускали узкий пучок
атомов водорода, находящихся в основном состоянии (п = 1,^ = 0), через
