Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
конечно, и наблюдаемые более общего вида, например, суммы и произведения
указанных. В дальнейшем единичные операторы как правило, мы будем
опускать.
Скалярное произведение в Н s определяется в виде
(|у,(р) = J + ^2>2).
Введем векторный оператор спина
Его компоненты
имеют только два собственных значения ±Й/2 и удовлетворяют коммутационным
соотношениям для операторов момента:
? §п ]= ih?kni&i ¦
Отсюда следует, что безразмерные эрмитовы 2х 2-матрицы <гк должны
удовлетворять условиям
= А 'Сгп\~ °к°п ~ °п°и = 2i?kni<Ji5
где I- единичная матрица.
58
Еще одно условие мы получим из требования, чтобы проекция спина на любое
направление, задаваемое единичным вектором п,
? Й
также имела только два СЗ, равных ± Й / 2. Это значит, что
(n-ст)2 =1 = пк<ткп1<т1
В силу произвольности направления п матрицы <гк должны удовлетворять
соотношению
{°k>°n}=°k°n+°n°k=2Skn-
Указанные три условия эквиваленты одному:
<Тк°п =SknI + i?kns(JS^
т.е. стк - /, 0"i0"2 - ^2^1
ит3 и цикл. пер.
Квадрат спина
§2 =2^ =й2^ + 1)/, 5 = 1/2.
к
Это и означает, что спин электрона равен Й/2. Заметим, кстати, что
операторы §± = §х ± i§ удовлетворяют условию
^=о,
которое следует из антикоммутативности матриц crk.
Стандартный выбор матриц <гк таков:
^0 Г ЯГ+Л 1 о Г1 0 '
II ь ,1 о, , (Т2 -К
Они называются матрицами Паули (W. Pauli).
Явные выражения для операторов §к =Ticrkl 2 можно получить из общих
формул для матричных элементов операторов момента (см. п. 7):
(J± )т'т = ^jm'A V >)= Ь'О + 1)~ т(гП +
(./,) , = mS , .
V 3 /mm mm
Положив здесь $k=§k/h, j = 1/2, m = ? = ±1/2, получим уже известные 2 х
2-матрицы (нумеруя соответствующим образом строки и столбцы).
Произвольная наблюдаемая в С2 может быть представлена в виде разложения
по 4 линейно независимым базисным эрмитовым матрицам /, ст.
Общие собственные векторы операторов
§2 = -h2i и ? =-<7,
59
- диагональных матриц - имеют вид
f °1
1/2 - 1 о J II ts> II
^ ' ч f °1
~ +
где у/Х1 - произвольные функции из Z2(r3). Из разложения
произвольного вектора состояния в Н s,
с \ с iwA О,
?
следует, что вероятность обнаружить при измерении в состоянии у/ проекцию
спина Sz = ±Й / 2
w(C = ±1/2) = \{wc=±U2,wf = Jd3x\y/ia\2.
В пространстве С2 волновая функция преобразуется по закону
у/' = Uу/, или у/[ =иыу/п.
Сохранение скалярного произведения,
y/'+q>' = y/+U+U(p, приводит к унитарности матриц преобразования:
U+U = I.
Следовательно,
det?/+det?/ = |det?/|2 =1.
Поэтому произвольную унитарную матрицу можно представить в виде
и = Qiav,
где V - унитарная матрица с det V = 1, а - произвольное действительное
число. Учитывая, что нормированный вектор состояния определен с точностью
до фазового преобразования у/ -> у/' = Qiay/, мы всегда можем
ограничиться преобразованиями U
с единичным определителем (унимодулярными преобразованиями):
dett/ = 1.
Унитарные унимодулярные преобразования в двумерном пространстве С2
образуют, как известно, группу SU(2). Эта группа связана с группой
вращений трехмерного евклидова пространства SO(3) следующим образом.
Рассмотрим множество эрмитовых бесследовых матриц вида:
X = ст• г, Х+=Х, trX - О, где г- действительный трехмерный вектор.
Представление группы SU{l) на множестве этих матриц задано так:
X' = UXU+, или ст • г' = Uo • гU+.
60
Из перестановочных соотношений для матриц Паули <тк следует, что
\tz{crk(Jn) = Slm.
Отсюда и из закона преобразования матриц X находим
|tr {акапх'п ) = х'к= ^tr((TkU(TlxlU+)^Rklxl.
Мы получили преобразование в евклидовом пространстве:
г' = Rr,
где 3x3 -матрица R имеет матричные элементы
Дн =|tr(?7i(7CT,C/+).
Используя свойства матриц <тк и U, нетрудно показать, что R -
действительная ортогональная унимодулярная матрица:
R*=R, RTR = /, deti? = 1, т.е. отвечает вращению евклидова пространства:
R е ?0(3), |г'| = |г|. Матрица U е SU{l) может быть при этом
параметризована в виде:
U = ехр
f i ~ \ т в , v . в
- I cos------ЦП -CTlSin -
2 2
-вп -ст
v 2 ,
где в - угол поворота вокруг оси, заданной единичным вектором п. Здесь
учтены легко проверяемые соотношения:
( Ш г / \2?+1
(п-ст) =/, (п-ст) = п-ст.
Мы видим, что матрицы U осуществляют двузначное представление группы
вращений SO(b):
±U^R.
Волновая функция электрона в пространстве Н s преобразуется при вращении
по закону:
^'(r) = ?/y(i?-1r)=exp вп § ^(г),
V Й )
где введен оператор полного момента импульса
§ = Й + = -ihr xV(r) 3+ -ст.
2
8.2. Уравнение Шрёдингера для частицы во внешнем электромагнитном поле.
Магнитный момент
Рассмотрим движение электрона во внешнем электромагнитном поле, заданном
4-потенциалом Ам =( Ф,А). По принципу соответствия определим гамильтониан
(нерелятивистского)
61
электрона (массу его будем обозначать те, чтобы не путать с квантовым
числом т для проекции момента) в виде:
Й =
1
f е ^ §--А с
+ еФ.
2т Оператор
§=§--А
с
называют кинетическим импульсом (в классической механике он выражается
через скорость частицы: Р = те\) в отличие от
