Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
С учетом ограничения \т\ < j приходим к выводу:
Д^=0, Л^,_;=0.
Пусть тФ j. Учитывая соотношения
??=?(?+i),
находим
#2 {?+Wjm) = j(j + }
?\?+У/^)=(т + Ф'+У/Л
Следовательно,
jm = Сjmty j,m+1 '
Аналогично найдем:
3 ш. =С~ щ ,.
-т jm jmi J,m-1
Выше было получено:
\hWjm I = U(j + !) - т(т ± !)]1/2 IVjm I •
Рассмотрим последовательность векторов
jm ' У jm *^+ W jm*
Очевидно, что
?lvjm ~vhm+n,
причем
т+п<j.
Ясно, что существует целое неотрицательное число п+ такое, что
?(?>J=О,
т.е. т + п+ = j.
Итак,
О <j-m = n+,
причем существует п+ собственных векторов операторов $2и 3Z: 50
отвечающих собственным значениям оператора 3Z, равным
т +1 + п+ = j.
Аналогично получаем для $_ последовательность векторов
принадлежащих СЗ 3Z, равным соответственно
= -j.
Из условий
п+ = j - т> 0, п_ = j + т> О
следует, что
п+ +п_ =2у = 0,1, 2,....
Итак, СЗ оператора $2 равны j(j +1), где
j = 0,1/2,1,3/2, 2....
СЗ оператора 3z таковы:
т = 0, ±1/2, ±1, ±3/2, ±2,... .
Для общего СВ ц/jm операторов §2и Д возможны 2J + 1 значений т:
m = -j,-j +1, ...,j.
Вернемся к соотношениям
?+Vjm=C+jmy,m+1, = [У(/ + \)-т(т ± l)]1/2
W
у,mil
Выберем у/jm = 1 и фиксируем фазу вектора ^7>г+1 так, чтобы C+jm было
действительным неотрицательным числом. Тогда получим
$+?м = U0 +1) - т(т + !)]1/2 ^,*+1 •
Отсюда с учетом уже полученного соотношения
= L/C/ +1 )~т(т + \)]if/Jm
находим:
?-Vj,m+x = [j{j + + jm.
Подведем итоги. Исходя из существования одного вектора y/jm,
мы построили всего 2j +1 ортонормированных векторов:
y'j.-l Vи-1. Vв; S~'. ¦
Они образуют базис (2y + l) -мерного пространства Н (-i\ инвариантного
относительно действия операторов момента Зк. Соберем вместе основные
полученные соотношения:
51
*Vj, =j(j + tyj., J = 0> 1/2,1, 3/2, 2...;
?zVtm=mVj", = +
?±Vim = L/C/ +1)- m(m ± l)]1'2 (УЛш±1; = ?vO,_y = 0.
Исследование свойств момента было основано только на коммутационных
соотношениях и эрмитовости операторов момента, а также на
неотрицательности нормы векторов состояний. Далее мы рассмотрим
конкретные представления алгебры момента.
7.3. Орбитальный момент
Оператор орбитального момента частицы определен выше:
Ё = ?х § = .
В координатном представлении получаем:
§=-zrx V;
? = -i
д д
У------z----
dz ду
? = -i
д д
z---------х-
дх dz
? = -i
д д
х-----у-
ду дх
Найдем выражения для компонент момента в сферических координатах,
связанных с декартовыми координатами соотношениями:
х = г sin 0 cos ф, у = г sin в sin ф, z = r cos в\
0 < г < оо, 0 < # <71, §<ф <27Г.
Вычисляем производные волновой функции y/{x,y,z) как сложной функции
сферических координат:
ду/
~дв
= r COS#
ду/ ду/ .
COS ^7 Н------Sin^?
дх
ду
ду/
dz
г sin# =
= Z
дхр ду р
ду/
)--1
dz '
ду/
дф
- г sin#
ду/ . ду/
-sin ф л--COS ф
дх
ду
= ~У
ду/ ду/
+ х-
дх ду
где р = г sin # = ^\х2 + у2 .
Умножим первое равенство на х/р(на -у/p), а второе на -yz! р2 (на -
xz!р2) и сложим почленно. Получим соответственно:
52
ду/ ду7 х ду/ yz ду/
дх
-х
dz р дв р1 д(р
=Щ, w,
У
ду/ ду/ у ду/ хz ду/
- z
dz ду р дв р2 дф В результате находим искомые выражения:
= *%¦
? - i
? =
д д
sin ф- + cos#>ctg0- дв дф
д д
- cosф- + sin^?ctg0- дв дф
§ = -i
дф
Кроме того,
Я = Q±i(p
д . д
± - + ictgO- дв дф
Используя известное выражение для квадрата момента (см. выше)
Р =?#-+?(?+i),
нетрудно отсюда получить для него представление в сферических
координатах:
9=-
1
sin# дв
д ( . . д \ 1 sin#- +
= -Л,
дв У sin2 в дф2 где Л -угловая часть оператора Лапласа.
Найдем общие собственные функции операторов Р, ^:
^Wtm = + 1У*" " ЬГьп =(tm)?Ы-
Решаем второе уравнение:
- i^- - т\у/ы = 0, у/ы(в,ф) = /ы(в)с1т<р.
дф
Потребуем однозначности функции:
у/{в,ф) = у/{в,ф + 2л).
Тогда схр(2ятг) = 1, и собственные значения
т = 0, ± 1, ± 2,_
Замечание. Требование однозначности волновой функции слишком жесткое
(достаточно однозначности модуля функции), и его можно снять (см. ниже).
Из общей теории (см. выше) известно, что т = -?,-? + \, ...,?. Поэтому
для орбитального момента имеем только целые значения ? = 0,1, 2,... .
53
Рассмотрим собственную функцию при т = I:
ч'и = ФУ-
Она удовлетворяет уравнению
= 0>
ИЛИ
\1Ф
Г 8 ¦ ¦ а 8 '
- + zctg#-
дв дф
ФУ*= 0.
Для функции ft после замены переменной jc = sin в получаем
уравнение, которое легко решается
f d l\
, ft = °> ft = c* ax x)
Итак, для каждого целого ? > 0 и т = ? существует единственная
собственная функция
у/и (в, ф) = ct sin^ в Qll(p .
Следовательно, общий спектр операторов в целом
невырожден.
Нормируем у/1т на единицу и фиксируем фазу. Тогда получим
ортонормированную систему функций у/Рт =
2 ж ж
(у/, Г" ) = jd<pj dd sin 6jf (в, <p)Y? (в,<р) = Sn.J".
о о
Условие полноты системы:
00 I
Y(tm) {в, ф)?(tm) (в', ф') = S(cos в - cos в')5(ф - ф').
1=От=-1
Далее требуем выполнения условий (см. выше): fi±Yem = [l(l + \)-m(m +
\)]nY(tm)±l.
Тем самым определены относительные фазы 21 + 1 функций, отвечающих
заданному I. Фиксируем фазу одной из функций. Мы выберем У^{в,ф) так,
