Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
неопределенностей. В стационарных состояниях (х) = 0, (рх) = 0 в
силу определенной четности волновых функций, и СН принимает вид
Поэтому для энергии в таких состояниях имеем:
Е = (й) = (р2' )'+ \т(°2 (*2) - + \те)1 (*2) = Лх2 ))•
2т ' ' 2 ' ' 8w(jc"
Условие минимума функции / дает:
^ , 1 2 ^ / 2 \ Й 1 2
/ =------------------г- + -тсо =0, (х ) =--= - jcn,
' 2 ' /(tm) 2та> 2 0
is . = Еп = -Тно
min и ^
8m(jc"
В результате
как и должно быть.
Как уже отмечалось, ГО моделирует колебания атомов в кристаллической
решетке. Фундаментальный вывод квантовой механики о том, что в основном
состоянии осциллятора энергия Е0 ф0, был подтвержден в экспериментах по
рассеянию рентгеновского излучения в кристаллах при низких температурах
(R.W. James, Е.М. Firth, 1927). В отсутствие колебаний решетки (как это
следует из классической теории в пределе нулевой температуры) рассеяния
быть не должно, но эксперимент его обнаружил. При этом экстраполяция
результатов к нулевой температуре показала, что интенсивность рассеяния
имеет конечный предел.
6.3. Алгебра гармонического осциллятора. Метод факторизации
Покажем, что спектр и собственные векторы гамильтониана ГО можно найти,
используя только алгебру наблюдаемых и общие свойства гильбертова
пространства состояний.
Запишем гамильтониан в виде
#=П(0§, п 44; (&] 2 +
2 УХ0 /
41
где,
как
и
выше.
х.
= 4п/
тсо,
а
Ро
= h / jcn = -\Jhmco .
Нормированный (безразмерный) гамильтониан § представим в факторизованном
виде:
§=
?
V
-г:
\хо
Р о
+1
\хо
Ро
-I
А К
х0 ' р0
Введем эрмитово сопряженные друг другу операторы
?=
1
л
? Я
- + i-
Ро
Vxo
\
=
Л
?
\хо
-1-1, [<?^]=1, Ро)
где учтен фундаментальный коммутатор [?, ] = ih и
равенство
ХоРо = h.
В результате получаем факторизованное представление гамильтониана ГО:
?? ?+
п
Задача свелась к нахождению спектра {Л} и нормированных собственных
векторов (СВ)^эрмитова оператора
$- = ???.
Итак,
4=м> Wl=1-
Отсюда получаем:
Л = {(рх,$(рх)=(?фх,?фх) = \&Pxf >о, \&рх\ = 4л.
Следовательно, спектр энергии ГО ограничен снизу:
Ел = Ьсо
Л +
IV 1
Итак, Л > 0, причем наименьшему собственному значению Л = 0 отвечает
вектор <р0, удовлетворяющий уравнению
?tp0 = 0.
Далее заметим, что
?$ = ??? ?= (l + ?? ?)?= (l + 7^) ?,
или
[?,$] = ?.
Используя этот коммутатор, получаем
&$(рх =Л?рх=(\ + $)?<рх
откуда
Следовательно,
5
42
foPx = ClWi, C{-} = II ?xpx II = VI.
(-)_ я -
<-)
> 0. Тогда
Фиксируем фазу вектора q>k_x так, чтобы С
Фх-1 = &Фх •
Подействовав к раз оператором ? на вектор (рх, получим нормированный СВ
">Л_*=[я(л-1Ь(л-*+1Г'2">Л.
Мы уже доказали, что X > 0. Поэтому процедура должна оборваться при
достижении СВ (р{). Это возможно только при
X = п = 0,1, 2,... .
В результате мы получили спектр энергии ГО:
п
Е.. = fico
п +
Покажем теперь, что все СВ могут быть построены по вектору <р0.
Воспользуемся коммутатором
[^,r]=[^7f]+ =<Г.
Имеем
фп =&?{$ +1 )фп ={п +1 )?^<рп.
Значит,
&<Рп=Сп]<Рп+1-
Далее,
<Рп( = {фп^фп)={фп^ + ^)фп) = П + 1' Сп] = л/Й+1.
В итоге получим:
_И:
<Рп
¦ф^ W=1;
Г ^ = Jn + \(pn+1, Щрп=4п (рп_х,
<%>0 = 0.
Применим полученные формулы в координатном представлении для вывода явных
выражений для волновых функций ГО. Имеем
Л
- ±1- ~
Кхо
Р о
-Л
f±
Для определения волновой функции основного состояния получаем простое
уравнение
* d
Z + - dt
<р0=0.
43
Его решение
<Po=CoQ~42'2-
Нормировочный коэффициент определяем из условия
VAJ 4AJ
= \dx\(pQ|2 = |С0|2*0 J^e-^ =1,
откуда (выбирая соответствующий фазовый множитель)
С0={х04тг)
Волновую функцию состояния с номером п > О находим по общей формуле:
(г)" С" (с <*У
т = v -Z , 0 ?-----е* .
Далее воспользуемся легко проверяемым операторным тождеством:
?- - = _е?2 /2 е-#2 /2
откуда
.Г /2
_<Г_
/2
В результате получим волновые функции осциллятора в окончательном виде:
ft -С" = (*0Л2-"!)-''2,
6.4. Когерентные состояния гармонического осциллятора
Состояния, минимизирующие произведение неопределенностей координаты и
импульса частицы, подчиняются, как показано в п. 4, уравнению
( h \
^т(?~xo)+i(fix -Po)J<P = °-
Для осциллятора оно может быть, очевидно, записано в виде:
?Фа=аФа>
44
где а- произвольное комплексное число. Итак, минимизирующие СН состояния
описываются собственными векторами оператора ?. Комплексность собственных
значений объясняется
неэрмитовостъю ?.
Найдем выражение для фа в базисе из СВ гамильтониана
(энергетическое представление). Имеем
00 00 00
Фа = ЕСЛ' ^а = '
п=О п=1 п=О
откуда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов:
а ап
Сп+1 _ I 1 Сп 5 И Сп ~ Г~. С0 •
л/и + 1 л/и!
Коэффициент с0, полагая его действительным, находим из нормировочного
условия:
п,п' л/л!л! п=0 п\
где учтено условие ортонормированности {<рп,,q>n) = 5п,п.
Итак,
с0 =е
\а\2П
00
-\а\/2Х~' Ы
_ <Рп-
п=0^П1
Следовательно, вероятность обнаружить осциллятор в стационарном состоянии
с энергией Еп равна
I Ри
(tm)n=b>nAf ¦
Мы получили известное распределение Пуассона, так что
