Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Произвольное {нестационарное) состояние может быть разложено по
стационарным состояниям - собственным векторам
гамильтониана:
< ; \
В нестационарном состоянии энергия не имеет определенного значения, но
среднее значение ее от времени не зависит:
(Е) = {ц/,Йу/) = 21 сп\2Еп = const,
так как Й- интеграл движения:
М = -\й,й]=о. frL
Если наблюдаемая Я не коммутирует с гамильтонианом, то ее среднее, как и
должно быть, зависит от времени (даже при
бЯ/dt = 0):
(^)=EcX'(^AJexр
и,и
п
Присутствие здесь недиагоналъных матричных элементов оператора
наблюдаемой {fpn, Яфп,) отражает характерный
квантовомеханический эффект интерференции различных
стационарных состояний.
Легко проверить, что в нестационарном состоянии р и j также зависят от
времени.
5.3. Теоремы Эренфеста
Рассмотрим подробнее случай одномерного движения частицы в поле U(x). В
этом случае гамильтониан
Й = &- + и(&.
2т
Учитывая фундаментальный коммутатор \?>fix] = ih, вычислим по общему
правилу (см. выше) оператор скорости:
?=г И" 4=[я2 > 4 Ы А=$1?-?&1+&фх - =
п 2 тп
= Ях[$хА+[$х'Фх = -2•
В результате
т
Далее,
33
к=^Н>а]=^И4&1
Последний коммутатор проще всего вычислить в координатном представлении:
8U
[U(?),fix] = -iti В результате получим:
ОХ
= ifi-
дх
s 8и(?)
д?
Отсюда для средних значений следуют уравнения, впервые полученные
Эренфестом (P. Ehrenfest) в 1927 г.:
d(x) _ (рх)
dt
d(p,)
т
dt \дх,
Это, очевидно, квантовый аналог системы канонических уравнений
Гамильтона. Отсюда следует квантовое обобщение закона Ньютона:
d2(x)_ /dU]
т-
dt2 \дх.
Эти уравнения выражают содержание теорем Эренфеста.
Рассмотрим переход к классическим уравнениям движения. Пусть состояние у/
представляет собой волновой пакет,
сосредоточенный в окрестности точки jc = (jc) . Разложив силу
F{x) = -dU / дх в ряд по Ах = jc - (jc) и усреднив по пакету, получим
с точностью до членов второго порядка малости уравнение движения
Г~ = F(ix))+^"((хЩлх)2 Здесь учтено, что (Ах) = 0. При условии
Ф"
+ ¦
(Ах:)2) "2
движение центра волнового пакета описывается классическим уравнением
Ньютона. Этого условия, однако, недостаточно. Надо учесть соотношение
неопределенностей
П2
(Д*Г (ДО1 >
34
и потребовать относительной малости флуктуаций импульса около
В этом приближении получаем классическую функцию Гамильтона:
и можно говорить о движении центра пакета по траектории.
Указанные два условия одновременно выполняются при движении частицы с
относительно большим импульсом в плавно меняющемся внешнем поле.
5.4. Интегралы движения и симметрия в квантовой механике
Вернемся к интегралам движения в квантовой механике и покажем, что их
существование связано с симметрией системы.
Ограничимся случаем дЙ / dt = 0. Пусть спектр гамильтониана инвариантен
относительно некоторых преобразований векторов состояний:
Следовательно, оператор преобразования должен быть унитарным:
3+3 = ?,шт 31 = 3+.
Для приложений представляют интерес унитарные операторы вида
вещественный параметр. Условие инвариантности гамильтониана принимает вид
среднего значения
(.р,)¦ {р1 ) = {р,)2+ ((Ар.Т) = (р,У при
(н(ъ А)) = Н{{х), (Р'))=Щ-+и((х%
у/ -^ у/' = Зу/,
где 3- линейный оператор. Инвариантность означает, что из уравнения
Йу/ = Е у/
следует такое же уравненш ^ ванного вектора:
Отсюда получаем условие инвариантности гамильтониана:
3~хй3 = Й , или [?,?] = 0. Естественно потребовать также сохранения нормы
вектора:
[Й,3] = 0.
35
Поэтому наблюдаемая 3- интеграл движения (при дЗ/ dt = 0).
Пример. Пусть свойства системы инвариантны относительно группы G линейных
непрерывных преобразований g координат:
г г' = gr.
Ввиду скалярности волновой функции ее закон преобразования имеет вид:
^'(г') = ^(г), или ^'(r) = y/(g~lг) = 3(gV(r).
Линейные операторы 3(g) реализуют представление группы G. Рассмотрим
группу трансляций:
г' = г + а,
где а- постоянный вектор.
Тогда
iy'(r) = iy{r - а)= [1 - а¦V +± (а • V)2 + • • -^(г) = е~>(г),
ИЛИ
^'(г) = ехр -^а-?^(г),
где ? = -г/г V - оператор импульса, который оказывается генератором
группы трансляций в пространстве волновых функций. Для свободной частицы
? коммутирует с гамильтонианом
Й = $2 /2т, т.е. является интегралом движения.
Рассмотрим группу вращений SO(3). Нетрудно показать, что волновая функция
преобразуется при вращениях по закону:
^'(r) = ехрГ- %п • ? V(r),
У П )
где (р- угол поворота вокруг оси, направление которой задано единичным
вектором п;
Й = ?х § = -г/гг х V
- оператор момента импульса, или угловой момент. Следовательно,
оператор момента - генератор группы вращений. Можно показать (см. ниже п.
9), что для частицы, движущейся в центральносимметричном поле t/(|r|),
момент - интеграл движения:
[#,?]= о, ? = |-+?/(|г|).
5.5. Соотношение неопределенностей "время - энергия"
В общей формуле СН
36
(дл)2)((дв)2)^(с)2, [Д$ = ;<е,
e s дЙ п д% n
положим &= Гг, --------= 0, - = 0.
dt dt
С учетом соотношения
получаем
(ДЛ)2)((Д?)2)>^-
ш
dt
Введем характерное время изменения наблюдаемой А:
