Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Р (к, ьк <") = _ " X ф iu, (ш) =
X XX'
е V e~ikxX - e~ikx>-' . , ч
= " Т L ----------Tk------1М (сй)- (5'13)
Представим последнее соотношение в виде
1-(2) /| ч V е~1кхХ - е~1кхК . .
1 (к, со) = е 2^-------~k--------6 (>v ~ (")
XX'
216
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
и выполним обратное преобразование Фурье. Усредняя по сечению, получим
/2) (х, О = --|-20О-*0 6 (*v - х) iKV W = ikk, (/).
М/ K<S
(5.14)
\<s
v>s
Здесь символы Я, < 5 и V >¦ 5 обозначают центры, локализованные,
соответственно, слева и справа от плоскости, перпендикулярной оси Ох, а 5
- площадь поперечного сечения образца. Выражение (5.14)-неявное, оно
связывает плотность тока с парциальными потоками 4,v> которые следует
определять, решая кинетическое уравнение. Заметим, однако, что выражением
(5.14) пользоваться удобнее, чем формулами (5.1) или (5.8), поскольку
при наличии стационарного тока величины г'и' остаются конечными в
термодинамическом пределе для всех "внутренних" состояний системы.
Выражение для плотности тока через сумму парциальных потоков,
пересекающих некоторое сечение S, можно переписать и в ином виде, через
сумму парциальных потоков по всему объему Q (для макроскопически
однородной системы). Для этого
л
Т
X,
В)
Рис. 14. К выводу выражения для плотности тока по локализованным
состояниям: а) изолированная система; б) "открытая" система.
усредним выражение (5.14) по всевозможным положениям поперечного сечения
0 ^ х ^ L:
f' (/) =
L
~ 7Г \ ^ ) (х' $ dx = 77 У! 9 (xi' - xi) {-^9 {,~хк) (r) +
о кк'
+ xk'Q (- хк) 9 (L - ч) 0 (*v) +
+ (L - хх) 0 (х,) 0 (хк. - L) 0 (L - хк) +
(,xv ~ х\) (r) (л:я) (r) ¦*•*')} ~ ~2ii О** ~~ xw)
U'
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В ^-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
217
Здесь Q = SL - объем системы, сумма берется по всем состояниям,
локализованным в этом объеме, а последнее приближенное равенство в (5.15)
записано в предположении, что макроскопический размер системы L намного
превышает характерное расстояние перескока.
Полученные выше формулы для плотности тока по локализованным состояниям
можно сделать более наглядными, рассматривая простую изолированную
систему локальных центров, разделенную на две части А и В плоскостью х =
дго, перпендикулярной оси Ох (рис. 14, а). Уравнение непрерывности,
записанное для подсистемы А, имеет вид
ЗА'
j.S = e-^, (5.16)
где S -площадь сечения, Na - полное число электронов в подсистеме А
объема QA:
^ = Е S*"u-W/u'W- (5-17)
м' аА
Отсюда
/=тгЕ \ <5Л8>
АД/
Диагональная часть плотности тока дается выражением
/'4Е1' <5Л9>
где символ IeQ,] означает, что суммирование проводится только по центрам,
расположенным в объеме Q^. Действительно, интеграл \dxak(x) близок к
единице для всех "внутренних"
центров, расстояние от которых до сечения S превышает радиус локализации.
При выходе координаты х^ за пределы подсистемы этот интеграл убывает до
нуля в приграничном слое толщиной порядка радиуса локализации. Для сильно
локализованных состояний, когда характерные расстояния между центрами
существенно превышают радиус локализации, можно положить
J dx а>и (х) ~ 6 (х0 - хк),
Яд
откуда и следует равенство (5.19).
Подставляя в (5.19) выражение для dfx/dt из кинетического уравнения
(3.18), получаем (без предположения о слабости
218
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
приложенного поля)
(!-"}• (5.20)
v
Для рассматриваемой модельной системы выражения (5.19) и
(5.20) эквивалентны. В стационарном случае каждое из них дает нуль в
соответствии со сказанным выше. В общем случае из выражения (5.20) видно,
что вклад в него дают лишь центры X, X', локализованные на расстояниях
порядка длины перескока от границы и по разные стороны от нее.
Действительно, сумма типа
2 pPuAO-M-eVA-O-M}
обращается в нуль из-за антисимметрии выражения в скобках относительно
перестановки индексов X, X', так что
- - Т Е FuA (1 - М - (1 - "}• (5.21)
k<S
v>s
Здесь символами X < S и X' > S обозначены центры подсистем А и В,
лежащие, соответственно, слева и справа от поперечного сечения S.
Поскольку вероятности переходов быстро убывают с увеличением расстояния
между центрами, центры X и X', отстоящие от поверхности S далее, чем на
характерную длину перескока, не дают заметного вклада в ток.
В случае неизолированной системы А, ограниченной плоскостями х = Х\ и х =
х2 = Х\ -f L (рис. 14, б), в левой части уравнения непрерывности (5.16)
стоит полный поток через поверхность, ограничивающую систему, т. е. сумма
потоков, вытекающих из системы через обе боковые поверхности. По этой
причине обращение в нуль производной дNA/dt означает лишь равенство
потоков, втекающего в систему и вытекающего из нее, но отнюдь не
означает, что каждый из них обращается в нуль. В этом случае, используя
кинетическое уравнение, получаем
i(!'W -(*(*, + 4=
=- т Е (1 - w - (1 - "}+
(xk<xvxX'>xi)
+т Е <5-22>
XX'
(x^<x2l хк'^>х'г)
Как отмечалось выше, пары центров, дающих вклад в суммы, стоящие в правой
части выражения (5.22), локализованы,
8 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В ^-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
