Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(4.21')
причем равновесная функция nF{E^) есть точное решение уравнения (3.18).
Подставляя (4.2Г) в (3.18), мы приходим к уравнению вида (4.13), с тем
лишь отличием, что вместо величин Uw в нем фигурируют разности обобщенных
потенциалов
- Чш + R" [-Т-'VT + Т v (т)] - [41 W + ? Кт)] •
(4.22)
Уравнения (4.13) с заменой Uhh,-*-U*xx, полностью описывают
термоэлектрические явления переноса по локализованным состояниям.
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В Х-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
213
§ 5 *. Плотность тока в ^-представлении
Для определения плотности тока в ^-представлении (2.1) в принципе можно
воспользоваться любым из стандартных выражений, связывающих плотность
тока с одночастичной матрицей плотности. Например,
j W = - тг ? ^1 v 1 ^ = - i ? <Я| х м - (5-1)
XX' КК'
где v - оператор скорости. Следует отметить, что при вычислении плотности
тока в макроскопической системе в выражении
(5.1) надо выполнить термодинамический предельный переход Я->оо; этот
переход должен выполняться до всех других предельных переходов (например,
до перехода co-vO). В условиях, когда рассматриваемые базисные функции
локализованы (т. е. описывают нетоковые состояния), выполнение
термодинамического предельного перехода в формуле (5.1) при конечных t
или ш не всегда тривиально [42]. Действительно, как мы видели в § 3,
прыжковая составляющая плотности тока определяется диагональными
элементами одночастичной матрицы плотности. Однако "внутренние"
состояния, локализованные далеко от границ системы, в области, где
установилось стационарное значение плотности тока, в пределе со 0 не дают
вклада в диагональную часть суммы (5.1): для этих состояний dfi/dt = 0.
Для фактического выполнения перехода Q-voo более удобной представляется
иная форма записи выражения для плотности тока - через объемные
характеристики системы (т. е. через характеристики "внутренних" центров).
Выведем альтернативные выражения для плотности тока непосредственно из
уравнения непрерывности
div j (х, t) - e ~ ~ = 0, (5.2)
где
п (х, /) = Е (х) fxv (0. (5-3)
U'
a
ахх' (х) = (Х) V (*)¦ (5-4)
Рассмотрим вначале линейный отклик системы на внешнее возмущение, полагая
6п (х, /) = ? (х) 6/u' (0.
м/
(5.5)
214
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
В линеаризованном уравнении непрерывности удобно перейти к фурье-
представлению по пространственным координатам и времени, полагая
оо
j (к, со) = ^ dx ^ dt е~ (х, t), (5.6)
- оо
и аналогично для 6/г(к, со). Тогда из уравнения непрерывности
(5.2) мы получаем для продольной компоненты плотности тока
h №. ш) = - е-|-?аи, (к) "/",(") (5.7)
ш
(в дальнейшем мы для краткости опускаем значок /). Заметим, что, как и в
обычной теории явлений переноса [45], в слабо неоднородных и медленно
изменяющихся полях предельные переходы &->0 и со-*-О некоммутативны: для
вычисления статической проводимости (или плотности тока) нужно сначала
выполнить предельный переход &->0 (при постоянной напряженности поля), а
уже затем устремлять к нулю частоту со. Обратный порядок предельных
переходов соответствует задаче об экранировании статического поля. При
этом плотность тока естественно равна нулю.
Разобьем сумму в (5.7) на недиагональную (с %Ф%') и диагональную (с % =
V) части:
j (к, со) = /(1) (к, со) + /2) (к, со) =
==~'Т" Z аи/(к)б/и/((r))--Т-ЕМк)бМи) (б-8)
Ш я
(Х'ФХ)
{щ. (к) = аи (к)).
Вклад недиагональных элементов матрицы плотности можно найти, подставляя
в (5.8) выражение для б/АА/(со), полученное из уравнения (3.23), в правую
часть которого добавлены слагаемые
И№'\Г\\)и-(\\Г\Х)^,}, (5.9)
связанные с внешним электрическим полем. Выражения (3.24),
пропорциональные g2, дают вклад в /(2)(к, со), содержащий произведения
трех недиагональных матричных элементов типа
(Я | х | Ai) Btxfixir {^ФК U Ф^и Х'фк2). Этим вкладом можно пренебречь,
когда функции (х) сильно локализованы.
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В Х-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
215
Остается лишь вклад от слагаемых (5.9), который можно записать в виде
/"(к, и) = - el X au, (к) (tin >.) ¦ (5.10)
хх'
{ХфХ')
В последнем выражении можно выполнить предельный переход k-*-0, замечая,
что для малых k в области локализованных состояний au,(k) s" -ik{%\х\Х')
(ось Ох направлена вдоль вектора к). Отсюда для средней плотности тока
i(l) (со) = -jj ^ d\f1] (х, (c)) = ¦! lim/(1) (к, со)
имеем
Е (Я*1У)Р.'|УШ) ^]~+йЕ+<. ¦ <6'П>
XX' К к -г -г
(ХФХ')
Это - бесфононный вклад в проводимость. В рассматриваемой сейчас задаче
он обращается в нуль при Мы обсудим этот
вклад более подробно в § 11.
Обратимся теперь к диагональной части /(2)(к, ю), описывающей в
рассматриваемом случае перескоки между локализованными состояниями с
участием фононов. Согласно (5.4) для локализованных состояний мы имеем
a,(k)=Jrfxe lk,|iMx)p"e-|k\ (5.12)
Последнее приближенное равенство справедливо, если функция
i|5jl(x) достаточно сильно локализована вблизи точки R*. Если теперь
воспользоваться кинетическим уравнением (4.13), то выражение для /(2)(к,
со) можно переписать в следующем виде:
