Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
частности, в стационарном случае
= 0 (4.15)
V
- сумма парциальных потоков в каждом узле обращается в нуль. Задача
об отыскании величин 6fx (или Ui) на основании
уравнения (4.15) эквивалентна задаче об отыскании потенциалов в узлах
случайной сетки сопротивлений (рис. 12), каждый узел Я которой связан с
каждым из \ остальных сопротивлением
2U'=(t Ги')_1 <4Л6)
(А. Миллер, Э. Абрахамс, 1960). Уравнение (4.15) есть не что иное, как
закон Кирхгофа для такой сетки, а задача об отыскании величин \J% с
помощью закона Кирхгофа эквивалентна рассматриваемой задаче в
стационарном случае.
В общем нестационарном случае система уравнений (4.13) эквивалентна
задаче об отыскании напряжений в узлах обобщенной случайной сетки (М.
Поллак, 1974; эта сетка изображена на рис. 13). Каждый узел ее соединен с
источником напряжения T\je через емкость
Рис. 12. Случайная сетка сопротивлений. U^ , ... - электрохимические
потенциалы в узлах Хи ...; Z^, ... - сопротивления между узлами.
(4.17)
Величины -ебf% в этом случае отвечают зарядам в узлах, т. е. на
соответствующих емкостях, и определяются уравнением
дьк yW^-^' I <'6f*
ЛМ-г- + -ЕГ-^7
dt
ebh'\
j
(4.18)
Указанный подход к задаче может иногда оказаться полезным в связи с тем,
что картина случайной сетки сопротивлений отличается большой
наглядностью.
Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на случай, когда в системе
имеются термические возмущения (И. П. Звягин, 1973). В случае достаточно
медленного изменения интенсивных термодинамических переменных в
пространстве можно
§ 4. ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 211
говорить об их локальных значениях и ввести представление о локально-
равновесном распределении. Медленность здесь означает, что систему можно
разбить на объемы, которые, с одной стороны, столь малы, что изменение
термодинамических переменных в них пренебрежимо мало, а с другой стороны,
достаточно велики (макроскопичны), так что флуктуации плотности частиц и
энергии в них не играют существенной роли. Возможность введения локально-
равновесных распределений обусловлена существованием иерархии временных и
пространственных масштабов, характеризующих процесс релаксации системы к
равновесному состоянию. Как мы видели в § 3, после начального быстрого
этапа эволюции, происходящего за время порядка %/Е, дальнейшая эволюция
системы (при t^>%/E) может быть описана кинетическим уравнением (3.18). В
области сильно локализованных состояний это уравнение сохраняет силу и
для пространственно неоднородных распределений. На кинетическом этапе
(при t^$>%/E) за время порядка то происходит частичная релаксация системы
к неоднородному состоянию, характеризующемуся медленно меняющимися в
пространстве и во времени плотностью частиц и температурой. Дальнейшая
релаксация неоднородных распределений к состоянию полного равновесия
может быть описана с помощью макроскопических уравнений (типа уравнения
диффузии). В теории плотных газов этот этап называют гидродинамическим.
При этом временная зависимость одночастичной матрицы плотности
определяется уже ее зависимостью от локальных температуры и плотности
числа частиц. Обозначим через тл и Lh время релаксации макроскопически
неоднородной системы и характерный масштаб неоднородности, причем, вообще
говоря, Lh может быть порядка размера системы L, а тн - зависеть от L.
Локально-равновесное распределение можно ввести на гидродинамическом
этапе для времен t и пространственных масштабов /, удовлетворяющих
неравенствам
т0 < / < тА, Lc0 "/ < Lh.
Здесь Lc0 есть характерный масштаб, определяющий корреляцию флуктуаций
чисел заполнения в рассматриваемой задаче; отметим, что он может
существенно превышать характерную
Рис. 13. Обобщенная случайная сетка.
212
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
длину перескока гн. Локально-равновесное распределение можно записать в
обычном виде:
f (Е, х, 0 = { 1 + ехр ( Е ~, (4.19)
где T(\,t) и F(x,t)- локальные значения температуры и элек-
трохимического потенциала.
Рассматривая времена и подсистему А с размером
ЬА "С Lh, мы можем считать изменения температуры и локальной концентрации
частиц в пределах этой подсистемы достаточно малыми и ограничиться
линейным по градиентам приближением. Соответственно положим
Т (х, {) " Т + (х • УГ), F (х, t) " F + (х • VF), (4.20)
где Т и F - средние по подсистеме значения температуры и
электрохимического потенциала. В задаче о вычислении кинетических
коэффициентов градиенты V7 и VF можно считать постоянными в пространстве
и во времени.
Рассматривая временную эволюцию системы на кинетическом этапе, будем
искать решение кинетического уравнения для прыжкового переноса (3.18) в
виде
= RO + eMO- (4.21)
Здесь 8fx(t)-флуктуации чисел заполнения узлов, возникающие при
протекании потоков частиц и энергии через систему локальных центров со
случайным разбросом вероятностей переходов. В линейном по градиентам
приближении имеем
к W - (Е0 + пр (EJ [1-я, (?,)] R, [%- vr + V (-?-)] + б/х,
