Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
учитывая изменение функции /*. в пространстве. Для малых градиентов
концентрации это изменение можно описать, вводя координатную зависимость
энергии Ферми (см. § 4).
В области локализованных состояний уравнение (3.18) имеет простой смысл:
оно описывает баланс электронных переходов
f 3, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
205
между локализованными состояниями. Отметим, что, как и следовало ожидать
на основании принципа детального равновесия, правая часть (3.18)
обращается в нуль, если в качестве /я, взять равновесную функцию Ферми*)
(?*) = { 1 + ехр ^ ~ } . (3-22)
Справедливость проведенного разложения определяется применимостью условия
(3.9). Используя уравнение (3.4) и расцепление типа (3.11), для
недиагональных элементов матрицы плотности /U' (кф\') получаем уравнение
0'^ ~dt ~ ^') =
<
=-1Ев^".г \ {ft('')('-к<о)ф">-
Я|/ -оо
- /я, (О (1 - к (О) ф V] ехР [/Qu, - О] -
- [К (0(1 - /v (О) Ф'У) - /г (О (1 - /я, (О) Ф(-У>] X
X ехр [/Qvv (/ - О]}* (3.23)
Из этого уравнения в марковском приближении получаем f 1 У пч
п-Я f ^0 -hJvp-fbO -к)ч>-дЛ
_ '> О - ''>¦') Ф? ~ 0 ~ ^ | (?. ^ Я/). (3.24)
ЕК-Е%, + (-\)> h<s>q )
Матричные элементы Bln в рассматриваемом случае пропорциональны не только
безразмерной константе электрон-фо-нонной связи, но зависят и от
перекрытия волновых функций состояний X и К'. Соответственно малость
недиагональных элементов первой матрицы плотности по сравнению с
диагональными определяется условием
Й/х < Е. (3.25)
Здесь Е есть характерная разность энергий локализованных состояний,
отвечающая наиболее вероятным прыжкам, а т-1 - ха-
*) Заметим, что при учете динамической корреляции между электронами с
противоположными спинами, попавшими на один и тот же локальный центр, вид
равновесной функции заполнения состояний, вообще говоря, будет отличным
от (3.22). Так, в пределе сильной корреляции в функцию (3.22) следует
ввести фактор вырождения, аналогичный возникающему обычно в теории
примесных локальных уровней в запрещенной зоне (см. ниже, § 13).
206
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
рактерная частота прыжков. Величины Е и т, вообще говоря, зависят от
условий опыта и природы системы. Из соотношений
(3.18), (3.19) видно, что время т обратно пропорционально квадрату
константы электрон-фононной связи и квадрату интеграла перекрытия
волновых функций центров.
Как_и в теории плотных газов Н. Н. Боголюбова, условие t %/Е определяет
кинетический этап эволюции, когда становится возможным сокращенное
описание поведения неравновесной статистической системы с помощью
одночастичной матрицы плотности [43]. В отличие от условия применимости
уравнения Больцмана, в котором Ё есть характерная энергия частиц (Т или
F), здесь Е- порядка изменения энергии при переходах. Отметим далее, что
релаксация рассматриваемой неупорядоченной системы на кинетическом этапе
может и не быть экспоненциальной; кинетическое уравнение дает возможность
описания переходных процессов и на этой стадии, коль скоро t %/Е. Лишь
при достаточно больших временах релаксация приобретает экспоненциальный
характер и может быть описана единым временем релаксации т0. Неравенство
t т0 определяет переход к гидродинамическому этапу эволюции, когда
становится возможным дальнейшее сокращение описания системы и переход к
макроскопическим уравнениям для термодинамических переменных - плотности
частиц и температуры.
§ 4. Отклик системы на внешнее электрическое поле
и градиент температуры
Уравнение баланса (3.18) описывает релаксацию системы к равновесному
состоянию в отсутствие внешних полей, когда гамильтониан имеет вид (3.3).
При наличии внешнего поля соответствующий гамильтониан (2.10) можно
представить в виде суммы двух частей - диагональной и недиагональной по
индексам Я:
HF='Lr^a+a,+ ? (А|Г|А'К%- <4Л)
Здесь
П = (А|Г |А) (4.2)
есть средняя потенциальная энергия электрона в действующем поле в
состоянии Я. Очевидно, первое слагаемое в (4.1) можно объединить с
гамильтонианом Яе из (2.15). Учет его сводится к перенормировке энергий
?*,:
ЕК->ЁК = ЕК + ГК. (4.3)
Таким образом, учет диагональной части гамильтониана (4.1) сводится
просто к замене энергий Е% в выражениях (3.18), (3.19)
§ 4. ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
207
на перенормированные энергии Е\. Роль диагональной и недиа-тональной
частей (4.1) существенно различна в случаях локализованных и
делокализованных состояний. В последнем случае учет недиагональных членов
необходим - обычная форма полевого члена в кинетическом уравнении
получается как следствие сингулярности матричного элемента {Х\Т\Х') при X
= X' (в случае плоских волн в однородном поле он пропорционален
производной от 6(р - р'))> а диагональные члены, согласно (3.7), взаимно
компенсируются. Для локализованных состояний ситуация относительно проще:
соответствующие матричные элементы в ^-представлении регулярны и в
рассматриваемом диагональном приближении основной вклад учитывается
заменой
на Ех. Действительно, недиагональные члены дают следующий вклад в левую
