Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
том числе и локализованные фононные моды.
§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН В ^-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
199
Гамильтониан взаимодействия электронов с внешним электрическим полем Hi в
^-представлении имеет вид
Я, = ?(МЗНЛ')а+ах,, (2.10)
U'
где (А,| Т | А/) = ^ dx (х) У (х) i|>v (х), а У (х) есть изменение
потенциальной энергии электрона при наложении внешнего электрического
поля. При нашем выборе базисной системы имевшиеся в отсутствие внешнего
поля внутренние поля, формирующие спектр, считаются уже включенными в
гамильтониан Не-
Величина F(x) представляет собой разность между потенциальной энергией
электрона во внешнем поле и в отсутствие поля; ее называют потенциальной
энергией в "действующем" поле, которое, таким образом, создается как
внешними зарядами, так и перераспределением зарядов системы, вызванным
внешним полем. Мы увидим ниже, что изменение среднего числа заполнения от
узла к узлу может заметно флуктуировать; соответственно даже при слабых
внешних воздействиях действующее поле может быть весьма неоднородным.
Наконец, гамильтониан "остаточного" (не включенного в Не и Hi) электрон-
электронного взаимодействия в ^-представлении имеет тот же вид, что и в
формуле (II. 16.1):
Яее = 4 ? (К, Kr\V \К[, К^а+а+а^а^, (2.11)
№
где
(К, X'WWu =
= ^ dx dx\|>* (х) о|^,(х') V (х - х') i^/ (х') ^ (х). (2.12)
В виде (2.11) можно представить не только кулоновское взаи-
модействие носителей заряда, но и эффективное их взаимодействие,
обусловленное либо обменом фононами, либо локальной перестройкой решетки
в окрестности локализованного носителя заряда.
Основной кинетической характеристикой системы служит неравновесная
одночастичная матрица плотности
f>A'M = Spp(0ajJ-av, (2.13)
где р(t) есть полная неравновесная матрица плотности. Она удовлетворяет
уравнению
/Л"1 = [Я, р(0] (2.14)
200
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
с полным гамильтонианом
Я = Яе+ЯрЬ + Яе.р11 + Яее + Я, (2.15)
(в гамильтониан, очевидно, можно включить и магнитное поле). Величина
(2.13) может описывать также наличие термических (не включенных в
гамильтониан) воздействий типа градиента температуры.
Основные кинетические характеристики системы (электропроводность,
термоэдс, коэффициент диффузии и т. д.) можно выразить через
одночастичную матрицу плотности (2.13). Удобно, однако, обсудить
подробнее вопрос о конкретном виде этих выражений несколько ниже, в § 5.
§ 3. Кинетическое уравнение
Рассмотрим вначале процесс временной эволюции системы в отсутствие
внешних полей. В настоящем параграфе мы получим (И. П. Звягин, Р. Кайпер,
1972; см. обзоры [37, 42]) кине' тическое уравнение для одночастичной
матрицы плотности с помощью методов, аналогичных используемым в теории
необратимых процессов [43]. Для получения кинетического уравнения
воспользуемся уравнениями движения для операторов а?, ак в представлении
Гейзенберга. С этой целью перепишем выражение (2.13) для /ад'(0 в виде
= sР Р (°) W av М. (ЗЛ)
где р (0) = р (0 |<-о> а
ак (0 = ехр (j Ht) ак ехр (- ~ Я(3.2)
есть оператор в представлении Гейзенберга.
Удобно применить стандартный прием, известный из квантовой теории поля.
Именно, будем считать, что все взаимодействия (с внешними полями и между
частицами) адиабатически включаются при t = -оо. Соответствующая матрица
плотности р0 = р(-оо) описывает систему равновесных невзаимодействующих
электронов и фононов, а матрица плотности р(0) уже включает в себя
эффекты всевозможных взаимодействий. Кинетическое уравнение представляет
собой замкнутое уравнение для функции /и' (/), не содержащее величин,
усреднение в которых проводится с матрицей ро.
Запишем уравнение движения для функции считая,
что внешних полей нет, а гамильтониан имеет вид
Я = Яе + ЯрЬ + Яе, ph.
(3.3)
§ 3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
201
Мы пренебрегаем здесь эффектами, связанными с прямым взаимодействием
электронов друг с другом; роль их будет обсуждаться в §§ 13, 14. Имеем
й^ + (?я-?я')/и' =
= X! (аА. a^q) ~ (/ - 1" 2), (3.4)
<?/
где для сокращения записи введены обозначения
(З.Б)
<...> = spp(0.... (з.б)
а через -q обозначены квантовые числа фононов в состояниях, сопряженных
по времени, так что, например, = •
Уравнение (3.4) справедливо и в случае, когда состояния делокализованы. В
стандартной зонной теории кристаллов, когда в набор квантовых чисел
входят компоненты квазиимпульса, второй член в левой части (3.4) дает
диффузионный член кинетического уравнения при наличии плавной
пространственной неоднородности.
При наложении внешнего электрического поля, описываемого гамильтонианом
(2.10), в правой части уравнения (3.4) появляется дополнительное
слагаемое
Л]
При переходе к импульсному представлению оно приводит к обычному
выражению для полевого члена кинетического уравнения.
Уравнение (3.4) зацепляется за уравнение для функций типа (aja^pw),
которое имеет вид
{ "1 - ?v+ (-1)' to,} <"К№> -
= ? ВЬ, - "адЧЙ1 р'Л) • <3-8>
А-Лз id
Будем пока считать, что Blv - 0 при А = АЛ Слагаемые с А = А/ можно
исключить каноническим преобразованием, осуществляющим переход к новым
