Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
п | а; |
остальным переменным. Удобно ввести новые переменные, в которых прежние
векторы а* и bi входят симметрично и, кроме того, явно выделена
существенная для нас величина, отвечающая радиусу орбиты:
R = ^j~^Jd\-\-b2±-\-b\, ах = R д/2 cos (г|э + я/4),
b\\ - R-yj2 sin (1J3 + я/4) sin ф,
Ь_l = R^2 sin (1J3 + я/4) cos ф.
При этом вместо (7.16) мы получим
ОО Л/4 я/2
R5dR ^ d\|)sin2(i|)+ j)cos2(\|) + j) ^ <^Фcosф (...).
О -ЛИ -я/2 (7.16')
Очевидно, чисто круговой орбите отвечают значения ij) = О, Ф = 0. При
этом вблизи круговых орбит можно считать малыми углы я|з и ф, а также все
коэффициенты а", Ь" при п ^ 2. Малые (но не равные нулю) значения г|з
отвечают превращению круга в эллипс за счет различия |ai| и |bj|; малые
(но не равные нулю) значения ф ведут к эллиптичности за счет изменения
угла между векторами ai и Ьь При анализе роли высших гармоник учтем, что
мы описываем их теперь в системе координат, заданной векторами ai и Ьь
Пусть ось Ох направлена вдоль аь а ось Оу - вдоль bj. Тогда, очевидно, 2-
компоненты векторов ал, Ь" (п ^ 2) отвечают отклонениям от круговой
орбиты, нормальным к ее плоскости.
Мы можем теперь вернуться к аналитическому исследованию функционала Q
вблизи оптимальных орбит. Согласно сказанному выше представим Q вблизи
точки стационарности приближенным выражением, квадратичным по отклонениям
6г(т) =
§ 7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ Gr (I) 185
= г(т) - ?(т). При этом континуальный интеграл сведется к
бесконечномерному гауссову, который можно вычислить факторизацией
интегралов. Для этого надо лишь диагонализовать квадратичную форму
62Q[r(T)] = Q[r(T)]-Q[?(T)j. (7.18)
Разложение (уже квадратичного) функционала QK [г(т) ] труда не
представляет. Обратимся к рассмотрению функционала Qn [г (т) ]. Введем
величины
Р (т. О = | р (т, т') | = | г (т) - г (т') |, (7.19)
/?о(т, т') = |?(т) -?(т')| = 2/?0 sin-^(t - т') (7.20)
и составим разность
6р(т, т') = р(т, %') - р0(т, %'). (7.21)
Будем считать малой величину |бр|/р0- Разложив по ней функционал Qn [г
(т) ] в ряд с точностью до членов второго порядка включительно, получим
AQn ^ Qn [г (Т)] - Qn [Б (Т)] = 6<'>Qn + 6WQn = t t
= ~ S dx S d%' ~e~aP°{ ~ 2(6P ¦ Po) -
0 0 Po
_(6p)2+ "Р^+аро"ЕЛ)1) ,7.22)
Po Po >
Первый член в фигурных скобках описывает первую вариацию Qn вблизи точки
?(т) и взаимно уничтожается с первой вариацией QK. Действительно, вблизи
точки ?(т) мы имеем
6QK
бг
6Qn
г t~\ 4lt2/ (*о*о + Е)
. = -?(*) =---------------Г2-------
бг
г = 5 Я/?,
^ F'(2o.Ro) (jRoXq + ?),
(7.23)
где функция F дается формулой (6.20). В рассматриваемом случае (при
2а|/?0|3> 1)
<7-24>
Приравнивая нулю первую вариацию Q = QK + Qn, мы вновь получаем прежний
результат (6.24), причем, в согласии с (7.1) и (6.20), с - 1.
186 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Диагонализация функционала S2Q выполнена в Приложении VIII. Удобно ввести
переменные
'=тИ-Щ. с'=-#ч>. *=7§г'"- <7-25>
en = -j=7f(anx + bny), cn = -j={anx - bny), 2, (7.26)
gn = -Jj?=(any + bnx), hn = -j={any-bnx), n^2, (7.27)
Zn^yj=anz, zn = -^Lbnz, n^i 2. (7.28)
При этом, очевидно, углы гр и ф в (7.25) считаются малыми по сравнению,
соответственно, с я/4 и л/2, а | R- /?о|<С|/?о|. Вид переменных (7.26) -
(7.28), содержащих множитель п, указывает на то, что фактически
интегрирование ведется по отклонениям скоростей, а не самих траекторий.
Множители шг/-\Jlt добавлены для упрощения нормировочного множителя (он
равен теперь д/я Для интеграла по каждой переменной). Это отвечает
повороту осей интегрирования на углы я/4 в соответствующих комплексных
плоскостях. (Это преобразование допустимо: сходимость соответствующих
интегралов обеспечивается большим отрицательным членом QK.) В выбранных
переменных мы имеем
"г=-2Р (1 - + (4+л|) (, _ bz-h.) _
ОО оо
-Z" + 2"('- Jfr)-S{к + гЭО -тйг)-
п=2 п=I
_bn±bn-b1-bL, h \-L(h2 Л-Р1 _Ь+г-Ьп + г]\
n(n+2)bt \Lnen+2^Snnn+2) ^ У1п+2^еп+2)11 2 (/г + 2)2 6jj'
(7.29)
Фигурирующие здесь величины Ьп{%), Бп(к) берутся при значении аргумента к
= к0 = 2aR0 и определяются равенствами
bnM = 2\dy-2?y-e-**b", bn(x) = -x^^-. (7.30)
о
При интересных для нас значениях |и|> 1, Re к > 0 справедливо
асимптотическое представление
Ьп{х)=Ча In(1 + 4п2/к2) + 2п2/х2(4п2 + у.2) + 0(х"4). (7.31)
Пользуясь им, нетрудно убедиться, что, несмотря на наличие множителя п~2
в коэффициентах формы (7.29), последние при-
$ 7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ 0Г (/) 187
ближаются к единице лишь при п^>,к. (Это отвечает учету только слагаемого
S2QK.) При меньших значениях п существенна роль слагаемого б2Q", причем
коэффициенты при квадратах переменных малы. Так, при г2 стоит множитель
-(1 -bjn2bx)~ -2(п2- 1)/х2, л"|и|. (7.32)
Это означает, что учитывать искажения формы траектории за счет высших
гармоник необходимо, и существенный вклад дает большое число гармоник.
При этом упрощенный подход, использующий разложения типа (7.32) при всех
п, также недопустим, ибо при п^> |х| он приводил бы к существенному
