Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вестись и по переменной R. В указанных выше условиях последний интеграл
можно вычислять методом перевала, распространяя интегрирование по R в
комплексную плоскость. Положение сёдел функции
ехр {<?(?)} (6.22)
определяется уравнением
___4n2iR0 | С^2-Ф
dR ' ~
0-
(6.23)
Интересующий нас корень (6.23) имеет вид
л""=тИ^1гТе'(r) (6'24>
Сравнивая это с (6.8), видим, что условие aR >¦ 1 сводится к
неравенству t > tc, которое в рассматриваемом случае заведомо
выполняется.
Подставляя выражение (6.24) в (6.21), находим основную зависимость
функции Грина от времени в случае (6.11):
Gr (/) ~ ехр | - j e~inlb t (-^)2/3} • (6.25)
§ 6*. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
179
Видим, что при больших временах (t tc) имеет место экспоненциальное
затухание функции Грина со временем.
С другой стороны, при малых временах, когда XiX2 1, ^2 "С 1, мы имели бы
Qn м - ^,/2
и
Gr{l) ~ exp (- (6.26)
Вывод о том, что при больших временах (t >> tc) оптимальными траекториями
оказались круги большого радиуса (|а7?|3> 1), позволяет нам одновременно
указать и конкретный способ интегрирования по всем траекториям в данном
случае. Именно, поскольку для оптимальной траектории ?(т) (6.18) величина
и = Uq велика почти при всех т и х' для достаточно широкого класса
траекторий, близких к 5(т), допустимо разложение функционала Q" в ряд по
би/но- Это позволяет свести весь континуальный интеграл к гауссову, после
чего он вычисляется до конца (пример такого расчета приведен в § 7).
Геометрические соображения относительно оптимальной роли круговых орбит
остаются в силе и при произвольном соотношении между t и tc, если только
велик параметр Я,) (т. е. в случае (6.12)). Соответственно остается в
снле и выражение (6.19), и можно определить комплексный оптимальный
радиус R0 как соответствующий корень уравнения
^-^F(2aR) = 0. (6.23')
Будучи интегралом от непрерывной корреляционной функции Ф, F(x) есть
достаточно гладкая функция своего аргумента. Следовательно, при |х|<С1
справедливо разложение
F (it) = л/2 - с2и, (6.27)
где с2 - величина порядка единицы, не зависящая от к.
Подчеркнем, что это сводится к разложению функции W(аи) по ее аргументу,
т. е. по |г - г'|, а не по компонентам вектора г - г'. Это обстоятельство
существенно. Так, при оси "с 1 разложение функции е~аи по ее аргументу,
очевидно, оправдано; в то же время производные от нее по компонентам
вектора г - г' имеют особенности при г'->г.
Подставляя выражение (6.27) в (6.230, мы получаем
Ro(t) = i^t3- (6.28)
Отсюда следует, что условие малости аргумента х сводится к неравенству t
"С tc.
180 гл. ш. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Равенство (6.21) дает теперь, с учетом (6.9),
Очевидно, в условиях t <С tc существенно лишь первое слагаемое в (6.29),
и мы имеем выражение (6.26). Таким образом, при малых t оптимальные
орбиты почти стягиваются в точку и = 0. Это означает, в частности, что
интегрирование по траекториям, близким к оптимальным, уже нельзя
проводить так, как это было сделано в случае больших времен.
Действительно, разложение функционала Q" по отклонениям 8и/и0 здесь может
оказаться неоправданным. Положение облегчается, если выполняется еще
условие
Действительно, при этом для всех существенных траекторий, включая
оптимальные и близкие к ним, функционал Q" слабо отклоняется от значения
-\f>it2/2. Вклад траекторий больших размеров мал в силу быстрых
осцилляций величины exp QK. Отсюда вытекает, что под знаком
континуального интеграла допустимо разложение по величине Qn - (-гр^2/2).
Заметим, что основное слагаемое -ty\t2/2 сохраняется при этом в
показателе экспоненты. Таким образом, мы наметили также и путь расчета
для случая t -С tc. В области промежуточных времен t ~ tc можно
использовать решение уравнения (6.23) для построения интерполяционной
формулы, дающей основную зависимость функции Грина от времени, или же
просто приближенно сшить выражения, полученные для малых и больших
времен.
§ 7 *. Вычисление континуального интеграла
для Gr(t). Плотность состояний
При явном расчете функции Грина целесообразно задать конкретный вид
корреляционной функции Ч'Хг). Возьмем ее в простейшем виде:
Это выражение удовлетворяет условиям а)-д) (стр. 173-174). Оно имеет и
непосредственный физический смысл. Так, корреля' ционная функция вида
(7.1) возникает в задаче о сильно легированном полупроводнике с
некоррелированным распределением атомов примеси в пространстве (см.
Приложение IV)*). При
(6.30)
(7.1)
*) Как мы видели в § 11.7, случайное поле в такой системе при известных
условиях можно рассматривать как гауссово.
§ ?•. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ 6r (t) 181
этом роль характерной длины а-1 играет радиус экранирования г0, а
¦ф, = 2 ял)е4г0/е2. (7.2)
Будем считать для простоты, что
A3 = a4/ij5i<Cl. (7.3)
В задаче о примесном полупроводнике это есть обычное условие "сильного
легирования" [35]. Заметим, однако, что область применимости данного
метода отнюдь не ограничивается этим условием.
