Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
расчета сообразно малой или большой величине подобных параметров.
170 ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ состоянии И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Второе обстоятельство, привлекающее интерес к указанному подходу, состоит
в том, что приближенное вычисление бесконечнократных континуальных
интегралов может быть проведено с помощью современной вычислительной
техники.
Ограничимся одноэлектронной постановкой задачи (в смысле, указанном в §
II. 1). Согласно [36], запаздывающую антикоммутаторную одночастичную
функцию Грина Gr(x, х'\ t) для электрона, движущегося в заданном поле
U(x), можно записать в виде континуального интеграла по всем траекториям
х(т), проходимым за время t из точки х в точку х
Gr (х, х'; t) =
\ t t |
= (2tQit?hN \ (r) Iх W] exP j \ ^ x2 ^ d% ~ 1 \U ^ d% I ' ^5' ^
( ni ' 10 0 j
При этом
x (0) = x, x (/) - x', x (т) = dx (r)/dx. (5.2)
Мы пользуемся здесь системой единиц, в которой h = m = 1; через Q(t)
обозначена ступенчатая функция, а N есть нормировочный множитель. Его
легко найти, замечая, что при 11 = 0 мы должны получить известное
выражение для свободной функции Грина:
^ (Х' х/; 0 = \ [Х (Т)] 6ХР j J 5 Х"(Т) dx
- lQ(t) схрГх (х~х/)21 (5 3)
"(2^eXPL 2/ J' (5'd)
Это условие, однако, еще не полностью определяет вид N. Действительно,
явное выполнение континуального интегрирования требует того или иного
способа задания семейства допустимых траекторий х(т), относительно
которых не выдвигается никаких условий, помимо непрерывности и
фиксирования концов. Для описания этого семейства требуется бесконечный
набор параметров, по которым и производится интегрирование. Названными
параметрами могут быть, например, значения компонент вектора х(т) в
моменты времени nt/k при ?->оо, п = 1,2, ... ..., k - 1, как это было
принято в исходной формулировке Фейнмана, или же коэффициенты разложения
функции х(т) по какой-либо полной системе функций на интервале (0,^).
Выбор способа параметризации семейства х(т) определяется соображениями
удобства. Для вычисления плотности состояний р (Е) надо знать усредненную
функцию Грина при совпадающих пространственных аргументах: х = х', причем
после усреднения
5 5*. ФУНКЦИИ ГРИНА В ВИДЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА 171
можно положить х = х' = 0. Это означает, что еще до усреднения величины
(5.1) мы должны вычислять ее как интеграл лишь по замкнутым траекториям:
х(0) = х(/) = 0. Подобные траектории удобно представлять в виде рядов
Фурье
х (т) ^ ? [а" cos + b" sin ^Г~\' (5-4^
П = О
причем коэффициенты разложения должны удовлетворять условию
м
ао:
Соответствующий нормировочный множитель Nm нетрудно найти, вычислив
фигурирующий в (5.3) интеграл:
NM-
I
Ф [х (т)] ехр | у ^ х2 (т) d.% I =
\ о I
м. м.
Д J dnn dbn ехр { i (а.1 + Ь\) } = Д (-^)3 ¦ (5.6)
Знак (^)
указывает на то, что континуальное интегрирование
проводится по замкнутым траекториям, выходящим в момент времени т = 0 из
точки х и возвращающимся в нее же в момент времени т = /. На форму этих
непрерывных траекторий не накладывается никаких дальнейших ограничений -
они могут быть сколь угодно ломаными, самопересекающимися и т. д.
Окончательный результат определяется как предельное значение бМ-кратного
интеграла по переменным а", Ъп с нормировочным множителем Nм при М-*оо.
На доказательстве существования такого предельного значения при расчете
конкретных физических величин мы останавливаться не будем.
Подынтегральное выражение в (5.1) содержит потенциальную энергию U (х)
только в виде линейного функционала в экспоненте:
ехр | - iz ^ dx' U (х') / (х') j, (5.7)
где
t
zl (х') = ^ dx 6 [х' - х (т)]. (5.8)
172 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Это означает, что усреднение функции Грина по случайному полю сводится
просто к замене (5.7) характеристическим функционалом (см. (II. 7.8))
А (zl) = ^ехр | - iz^dxU (х) / (х) =
= ^ Я) [?/] 0* [?/] ехр | - iz^dxU (х) / (х) |. (5.9)
В ряде случаев функционал A(zl) оказывается достаточно простым, с чем и
связана практическая эффективность данного метода расчета.
В дальнейшем мы будем рассматривать случай гауссова поля. Охватывая
довольно широкий круг физических условий, этот случай вместе с тем
интересен и с чисто методической точки зрения. Дело в том, что
характеристический функционал здесь имеет особенно простой вид, что
позволяет сравнительно легко исследовать различные аппроксимации,
используемые на квантовомеханическом этапе решения задачи.
Ограничимся также макроскопически однородными и изотропными системами.
Тогда можно положить
<?/(х)> = 0, (5.10)
и характеристический функционал имеет вид (сравните с (II. 7.20))
А (zl) - ехр | - ^ dx dx'I (х) Ч7 (х, х') I (х') |, (5.11)
где Ч^х, х') есть бинарная корреляционная функция случайного
поля:
W(x,x') = (U(x)U(x')).
В рассматриваемых условиях
?(х, x/) = 4f(|x-x'|). (5.12)
Заметим, что в силу (5.10) начало отсчета энергии совпадает у нас с
перенормированной границей зоны проводимости (или дырочной), отвечающей
вспомогательной задаче об идеальном материале. ("Перенормировка" состоит
