Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Представление о плотности состояний, использованное выше для описания
энергетического спектра электронов и дырок, можно ввести и для фононов.
Именно, в условиях термодинамического равновесия концентрация фононов
данной ветви (нумеруемой индексом v) дается выражением
где D[~\{со) - фурье-образ запаздывающей фононной функции Грина.
Как и в случае электронных состояний, дискретным частотам атомных
колебаний отвечают дельтообразные особенности Pph(co); в участках всюду
плотного спектра можно заменить в _(4.1) сингулярную функцию pph(w)
сглаженным выражением Pph(co), представляющим собой огибающую
дельтообразных пиков.
Ко второму типу относятся жидкие, аморфные и стеклообразные материалы.
Совокупность атомов в них мы будем называть матрицей. В этом случае
тепловое движение атомов при не слишком высоких температурах также можно
рассматривать в основном как малые колебания около положений равновесия;
в отличие от кристаллов, однако, сами эти положения равновесия могут
(сравнительно редко) изменяться со временем **).
Как известно из механики, в гармоническом приближении представление о
независимых друг от друга нормальных колебаниях можно ввести для любой
системы колеблющихся частиц. Таким образом, представление о фононах
остается в силе и здесь. Однако, поскольку положения равновесия атомов
матрицы не образуют кристаллическую решетку, в данном случае нельзя
характеризовать нормальные колебания с помощью ква-
*) Обзор современного состояния теории локальных и квазилокальных
колебаний можно найти в книге [24].
**) Подробное рассмотрение теплового движения в жидкостях можно найти в
книге [25].
P"h. v(") da
(4.1)
JVph' v J exp (ha/T) - 1 •
Здесь pph.v (со) есть плотность фононных состояний:
Pph. v H = - 2 (Sp Im D\7> (со)),
(4.2)
s 4. СПЕКТР ФОНОНОВ (КАЧЕСТВЕННЫЕ СООБРАЖЕНИЯ)
63
зиволнового вектора. С другой стороны, представление о плотности фононных
состояний (вместе с формулами (4.1) и (4.2)) сохраняет точный смысл и
здесь.
Полное описание спектра фононов в рассматриваемых системах, включая и
расчет функции pPh(a>), составляет весьма сложную задачу. Некоторые
выводы, однако, можно сделать без каких-либо предположений модельного
характера.'
Во-первых, обычные звуковые волны распространяются и в неупорядоченных
средах. Это означает, что при достаточно больших длинах волн затухание их
оказывается сравнительно небольшим. Коль скоро длина волны значительно
превышает среднее межатомное расстояние в матрице, мы вправе
рассматривать последнюю как непрерывную среду, характеризуя ее
феноменологическими коэффициентами упругости и вязкости. Это приближение
называется гидродинамическим. Из механики сплошных сред известно, что в
указанных условиях коэффициент затухания звука пропорционален квадрату
его частоты, что и оправдывает сделанное выше утверждение.
Таким образом, в применении к рассматриваемым материалам остается в силе
представление о длинноволновых акустических фононах, характеризуемых,
однако, не квазиволновым, а просто волновым вектором к. Последний линейно
связан с частотой со. В дальнейшем мы будем пользоваться простейшим
законом дисперсии для таких фононов, полагая
"ас - ks, (4.3)
где s - скорость звука. Соответствующая плотность состояний имеет обычный
вид:
И2 / л л\
Pph, ас' 2jt2s3 ' ( -• )
Во-вторых, экспериментально установленный факт сохранения ближнего
порядка в интересующих нас материалах наводит на мысль о возможности
сохранить и представление о длинноволновых оптических колебаниях атомов
матрицы. Эти колебания в известной мере аналогичны наблюдаемым в
кристаллах, причем роль "элементарной ячейки" играет, например,
совокупность атомов в первой координационной сфере (включая и центральный
атом). Тепловое движение приводит, в частности, к малым изменениям
относительного расположения атомов в пределах каждой из указанных
"структурных единиц"; благодаря межатомному взаимодействию эти деформации
неизбежно должны распространяться по всей матрице. Следует ожидать, что,
коль скоро деформации в соседних структурных единицах примерно одинаковы,
затухание соответствующих колебаний в системе с короткодействующими
силами окажется не слишком большим. Соответственно могут распространяться
волны дефор-
64
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
маций указанного выше типа. Соответствующий закон дисперсии должен иметь
вид
(c)opt (k) = coo - ak2, (4.5)
где а - постоянная, к - волновой (не квазиволновой!) вектор.
Наконец, в-третьих, в рассматриваемых материалах, как и в веществах
первого типа, следует ожидать возникновения локальных и квазилокальных
колебаний. Они могут образовывать участки всюду плотного спектра.
На существование особых низкоэнергетических локализованных возбуждений
указывают наблюдаемые на опыте (Р.К. Зеллер, Р. О. Пол, 1971) аномалии
теплоемкости, теплопроводности и некоторых других свойств стекол при
низких температурах (~0,1 К). Так, теплоемкость стекол в
низкотемпературной области меняется пропорционально температуре; такое
