Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность того, что при температуре Т-*¦ 0 электрон навсегда останется
там локализованным*)?
В применении к рассматриваемой нами системе этот вопрос, равно как вопрос
о том, останутся ли уровни дискретными, отнюдь не тривиален. Как мы
увидим, эти два вопроса эквивалентны.
По-видимому, впервые указанная только что постановка задачи была дана П.
У. Андерсоном (1958). По этой причине о возникновении локализованных
состояний квазичастиц (несмотря на возможные перекрытия волновых функций)
говорят как об андерсоновской локализации.
Обозначим через a0(t) амплитуду вероятности того, что
электрон, находившийся в начальный момент времени (при
t - 0) в точке х - 0, окажется там же и в момент ^ > 0. По определению
запаздывающей (не антикоммутаторной) функции Грина Gr(x, х'; t) (еще не
усредненной по случайному полю) мы имеем _
а0(0 --К?г(0, 0; 0. (3.1)
Полагая
оо
Gr(0, 0; 0= \ dEe~iEtGr(E), (8.2)
- оо
находим
оо оо
/(0=*|ао(ОР= 5 dv 5 dEGr(E + v/2)G*r(E~v/2)e-M. (3.3)
*) Условие Т -*¦ 0 существенно. Действительно, в противном случае
заведомо отлична от нуля (хотя, может быть, и невелика) вероятность того,
что в результате тепловой активации электрон удалится от данного центра
на сколь угодно большое расстояние. Этот эффект, очевидно, не имеет
отношения к рассматриваемой нами задаче о локализации.
58 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Замечая, что G'r (?) = Ga (?*) [14], и принимая во внимание, что функции
G,{E) и Ga(E) аналитичны, соответственно, в верхней и нижней
полуплоскостях, видим, что функцию
оо
F (v) = J dE Gr (Е + v/2) Ga (Е - v/2) (3.4)
- оо
можно аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость переменной V.
Нас интересует величина
/= lim </(/)}, (3.5)
f->oo
где угловые скобки обозначают усреднение по случайному полю. Согласно
(3.3) и (3.4)
оо
(F(v)) = -^\(f(t))e'"dt. (3.6)
о
Полагая v = ip - т - 2е (где ее Re), получим в правой части (3.6)
стандартный интеграл лапласовского типа. Как известно [22], при этом
справедливо следующее соотношение (при условии, что указанные ниже
пределы существуют):
lim </(/)}= limp<F(p)>. t->°° p->0
В силу (3.5) и (3.4) это дает +°°
/= ^ dE lime {Gr (Е -f ге) Ga (Е -- /е)). (3.7)
J Е-"0
- ОО
Андерсоновская локализация имеет место, если / Ф 0. В такой форме,
однако, критерий локализации недостаточно содержателен, ибо в правой
части (3.7) фигурирует интеграл по всем энергиям электрона Е. Желая
выяснить, локализованы ли состояния с данной энергией Е, мы должны
изучить поведение подынтегрального выражения в (3.7) (Э. Н. Эконому, М.
X. Коэн, 1970; К. Ф. Фрид, 1972)*):
f (Е) = lim е (Gr (Е + 1в)Ъа (Е - /е)>. (3.7')
е->0
Заметим, что в выражения (3.7), (3.7') входит среднее значение от
произведения двух функций Грина. Выражение (3.7) удобно
*) В работе Фрида вместо Ог и Ga использовалась причинная функция Грина,
что представляется нам менее удобным.
§ 3. АНДЕРСОНОВ СКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
59
переписать в несколько ином виде, воспользовавшись известным соотношением
Gr а (Я, Е) = Gr а (Я, Е) [I - пр (Я)]. (3.8)
Здесь uf(X) == nF(Et) есть функция Ферми.
В интересующем- нас случае предельно низких температур множитель 1-nF
ограничивает суммирование по энергии Ех областью E>F, где F - уровень
Ферми. Пользуясь соотношениями (3.8) и (1.6.9), получаем вместо (3.7)
(0) f I **(0) Г ¦ ы)
где 0 - ступенчатая функция, а функции гр*, и берутся при х = х' - 0.
Волновые функции непрерывного спектра нормированы на 1 в объеме Й.
Следовательно, | (0) |21 ^r(0) |2'~Q_2> и
при Q->• оо правая часть (3.7") стремится к нулю независимо оте:
локализация не имеет места. С другой стороны, в области дискретного
спектра функция ^(х), как и вся правая часть (3.7"), асимптотически при
Q-> оо не зависит от объема. Видно, что при сколь угодно большом, но
конечном значении Й слагаемые с Ек,фЕх не дают вклада в правую часть
(3.7"). С другой стороны, при ЕХ, = ЕХ мы получаем
f=i(ZrZl4..wf)V-
\ЕХ> F\R. сг / /
В этом случае локализация имеет место.
Другой критерий локализации можно получить, рассматривая макроскопически
однородный неупорядоченный полупроводник как систему, вырожденную по Н.
Н. Боголюбову [23]. Для того чтобы выяснить, имеются ли локализованные
состояния, надо снять вырождение по центрам локализации. Для этой цели
надо ввести в гамильтониан системы Я бесконечно малое локальное
возмущение, полагая
H = HQ + x\V (х - Хо). (3.9)
Здесь Но - гамильтониан рассматриваемой физической системы со случайным
полем, г|- сколь угодно малая величина, х0 - произвольная фиксированная
точка, а V - функция, локализованная вблизи нуля своего аргумента; явный
вид ее не играет роли. В дальнейшем мы положим для удобства х0 = О,
V (х) = 6 (х). (3.10)
В соответствии с приемом Н. Н. Боголюбова надлежит вычислить изменение
электронной плотности под действием воз-
60 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
мущения г)V. Если при г\ -*- 0 это возмущение останется отличным от нуля,
в системе имеются локализованные состояния, в противном случае их нет.
