Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В отсутствии вырождения F — Ec< 0 и IF — Ej/kT > 1; при этом
п = (тп?7УлЙ2)ехр [(F — Ec)/kT],
и, следовательно,
Ne = mkT/rihг.
При Т = 300 К и m =¦= m0 это дает Ne » 0,98 • 1013 см-2.
31. Согласно (1.27) мы получаем
pn (Е) = (Уте/п% у2) (Е - Ej-m.
При этом в отсутствии вырождения
Ес
Вычисляя интеграл, получаем
п —(l/%)^mkT/2n exp [(F — Ec)/kT],
т. e.
Ns = (l/%)imkT/2n.
32. С учетом соотношения N = N0 + Nt + N2 из (1.31a) получаем
N0 = goNz~\
Ni-giNzr'expUF-Ej/kT),
N2 = gtNz-1 exp [{2F-2El~ U)/kT],
где
z = go + gi exp [(F — Ei)/kT] + g2 exp [(2F — 2Et — U)/kT],
73
При F<Ei, Et — F> kT имеем N0~N, Ni ~ N2 « 0, при Ei<F<Ei + U и F — Eu E\ + U — F'>kT получаем Nf « N, N0*N2~ 0, a при F>E{ + U, F - E, - ?/ > kT
почта все центры заиол-/V„| нены двукратно, N0 ** Nt «
~ о, n2~n.
Зависимости концентраций N о, Ni и ЛТ2 от положения уровня Ферми схематически представле-а вы на рис. 21.
F 33. Примесный центр может находиться в трех
N
Е,
EfV
N
?1 Ef+U -
F
-3
/
F
Рис. 21. Зависимость концентраций пустых (о), одно- (б) и двукратно-^) заполненных центров от положения уровня Ферми при низких температурах (схематически).
зарядовых состояниях: +ё,
О и — е, которые отвечают заполнению центра 0, 1 пли 2 электронами. Соответственно N+ = N о, № = = JV, и N~ = N2, где No, Ni и N2 даются выражениями, полученными в предыдущей задаче. Положение уровня Ферми определяется из условия нейтральности
N+ = N~, откуда следует, что go = ёг X
Хехр[(2F -Еа~Ел)/кТ] {Еа = Еи Ei = El + U),
или
F = (Еа + Ed)/2 +
+ (kT/2)\n(go/g2),
Видно, что при go — g2 уровень Ферми расположен посередине между уровнями примеси и не зависит от температуры. При go ^ g2 имеется слабая температурная зависимость уровня Ферми.
34. В условиях полного истощения доноров уравнение нейтральности имеет вид
А\ + 2 N2 = Nd,
где выражения для ’Ni и N2 приведены в решении
74
задачи 32. Введя обозначения
x = BX-p[{F — El)/kT], ? = ехр[—(?» — ?,)/W], NJN = q,
мы придем к уравнению
?а!(2-q)x2 + gl(i - q)x-g0q = 0.
При не слишком высоких температурах, когда Ег — Ei > > kT, значение ? « 1. Тогда в области q< 1 получаем
т. е.
В области 1 < q < 2 имеем
1) /^2 (2 —
т. е.
Концентрационная зависимость уровня Ферми схематически показана на рис. 22.
35. При наличии в образце полностью истощенных Fn мелких доноров и заполненных акцепторов уравнение нейтральности имеет вид
Nt + 2N, = N + Nd-Na. Введя обозначение
v = (N + Nd-Na)/N,
J
1 Z я=ый/н
где интервал 0 < v < 2 охватывает всю интересующую !!ис' ^2. Зависимость уровня -¦ Ферми от концентрации мел-
нас область легирования мел- кцх доноррв в полупроводника кими примесями, мы видим, что задача по
с глубокой примесью, создаиз-
существу Щеи Два акцепторных уровня сводится к предыдущей, (схематически),
если q заменить на v. Соответственно искомая разность уровней Ферми равна
A F = jFj — jF2 = Еа — Ed +
+ kT In [g\ (vj — 1) (1 ¦v 2)/g0g2 (2 — Vj) va],
где vt = 1 + NJN, a v2 = 1 — NJN. В образце, легированном акцепторами, уровень Ферми лежит в нижней
75
половине запрещенной зоны, т. е. обычно это — полупроводник p-типа с концентрацией дырок, равной р = *= Nvex-p[(Ev — Fz)/kT], где ^ — уровень Ферми в этом образце. Аналогично, при легировании донорами обычно имеем полупроводник re-типа. Отношение концентраций основных носителей заряда в рассматриваемых образцах равно
nip = (Nc/Nv) exp [(Fa — Ev — Ec + Fx)/kT] =
Ne Ed-Ev-Ec + Ea
N. (1-va)(2-vi) P kT
36. Используя результаты задач 34 и 35, мы можем написать:
F = Еа + kT In [gi (v - 1 )/gz (2 - v) ].
При gi = gz = 1, v = 1,3 имеем
F & Ev + 0,3 эВ.
Концентрация дырок в валентной зоне равна /> = 5,1 • 10” смЛ
37. Поскольку уровень Ферми расположен глубоко в запрещенной зоне, имеем
п = iVcexp [— (Ес — F)/kT]f
N°sb = V2iVsb exp [— (ESb — F)/kT]f
Nib/n = (iVSb/2iVc) exp [(Ec — ESb)jkT],
Отсюда при 300 К получаем ЛЦь/и« 6,5 • ДО-8, при
