Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 =(ЗА/2) (In у)иг/у (3)
определяет критическую температуру 71кр и критическую концентрацию доноров, соответствующую касанию дна зоны проводимости уровнем Ферми. Подставляя величину Я из уравнения (3) в уравнение (2), получаем уравнение для определения критической температуры:
У = — gd1 + J- У In у.
При gi = 2 решение последнего уравнения есть г/нр = 5,2.
Таким образом, в германии (см. задачу 20)'
' " у«г = ехр(7'о/7’кр) = 5,2,
Гр = ГЛп 5,2 = 116 К/1,65 = 70 К;
Тунр = 2Jf----~ ю» см'3.
3 (1п/Р)1/а 4>27
Для InSb получаем (см. задачу 21)
Гр= 11,6/1,65 = 7 К, Л^Р«1г5-Ю15 см"3,
23. Оценим границы температурного интервала, в котором концентрация дырок постоянна и равна Na. Как и в задаче 20, нужно решить уравнения
yi = \n[Nv(T'B)/igaNa]^yi-/2, у2 = In [Nv (T'd/Na] —Зу2/2 + l/2k.
Для кремния
А — 1,21 эВ, | = 2,8 ¦ 10-4 эВ • К-1;
То = (Еа - Ev)/k = 520 К, Т*0 = A/2k = 7020 К; Nv{t'o) == 2,6-1019 см-3, 1,3-1021см-3. '
При этом уравнения принимают вид
I/, = 4,18—1,5 In уи = 11,09—1,5 In Их решения таковы:
У1 = 2,69, уг = 7,98;
Ti = 194 К, Т2 = 879 К.
Таким образом, при комнатной температуре />=Л7а = = 1017 см_3. Удельное- сопротивление материала равно
р = (pe\iv)-1 = 0,62 Ом • см.
При 30 К концентрация дырок есть
Р = (NaNJga)1/2 exp [- (Еа - Ev)/2kT] = 3,2 • 1013 см-3.
24. В примесной области концентрация свободных дырок мала, а уровень Ферми лежит в верхней половине запрещенной зоны, так что
N~=Na{i + ga exp l(Ea — F)/'^]}-1 я: Na,
Поэтому уравнение нейтральности имеет вид
n + Na = Nd [1 + gdn/nd]-1,
где nd — Neexp[{Ed~ Ec)/kT\. Отсюда n = (2gdr1{[n2d + 2gd(2Nd-Na)nd + glNl]1/3-
(fyj 4" gd-Nq)].
При нпзких температурах (когда nd < Na)
n = (iVe/^) (;Vd/.<Va - 1) exp [- (Ec - Ed)/kT],
и,- следовательно, искомая энергия активации равна Ее Ei.
25. Из результата предыдущей задачи, считая, что 2gd(Nd — Na)nd/(nd + gdNa)2 < 1,
получаем
n —
nd + %dNa
iJrSdNjnd
26. При 25 К имеем Ne = 2,5 • 1017 см-3, a nd-= 2,4 • 1015 см-3. Таким образом,
¦. ("d-ЬА'Л)2 ..
и можно применить результат предыдущей задачи:.
а_______(I
1 + SaNa/nd
1,1 -Ю15 см'
-8
27. В области низких температур, Т<Ти ив области высоких температур, Т>Тг, зависимость In га от темпе-
Рис. 20. Температурная зависимость концентрации частично компенсированного полупроводника.
ратур.ы имеет дид In п — const — EaKT/kT, где, Emт — соответствующая энергия активации (рис. 20). В интервале Т1<Т<Тг концентрация электронов практически не изменяется и равна N4 — N9,
71
28. Нижняя граница области определяется из условия (NJgd) (Nd/Na - 1) exp [- (Ее - EJ/kTJ = Nd- N„
определяющего точку пересечения плато, соответствующего п = Nd — Na, и продолжения низкотемпературного участка кривой зависимости In п от 1/Т. Отсюда
Т, = (Еа - Ел) /k In [Nc (7\) /gdNal
Верхняя граница определяется собственной концентрацией электронов:
п = Nc exp [- (Еа - Ev) /2kT2] = Nd- N„
так что
Тг = '(Л/2&) {1п[#с(Г2)7(Nd — /V0)] + %/2k}~1.
Для кремния с мышьяком и алюминием имеем
Ес - Е„ = А - \Т = (1,21-2,8 • 10-4Г) эВ,
Т'0 = (Ее - Ed)/k » 580 К, у, = T'jTu Т"а = M2k да 7,02 • 103 К, y2 - T”jT2.
Используя заданные значения параметров, приведем уравнения к виду
ух = In [iVc (T'0)/gdNa] — (3 In уг)/2 = 10,3 — 1,5 In yu
y2 = In [tfe {Tl)/(Nd - tfe)] + \!2k - (3/2) In y% =
= 16,8 — 1,5 In y2.
Решения этих уравнений таковы:
yi ~ 7,32, y2 = 12,96;
Г, = 79 К, T2 = 542 К.
29. В случае одинаковых эффективных масс мы получаем
Z (Я,
и согласно (1.25а)
р„ (Е)= тп/л%2.
Случай неравных эффективных масс приводится к предыдущему, если ввести новые переменные, полагая
Uj;, JCy — ТТЬу Wy,
72
2 mn
(Е-Ес)
i/a
Тогда Еп(и)=Ее + Ъ2(их +.иу)/2 и р„(Е) = (тхту)ш/пЬ*. Отметим, что в двумерной системе с параболическим спектром плотность состояний не зависит от энергии.
30. Согласно результату предыдущей задачи концентрация электронов дается выражением
ОО
fn(E) dEx
Ес
где {п есть функция Ферми,
/„ = {1 + ехр [(? — F)/kTyi~l.
Вычисление интеграла дает
п = (mkT/пЪ2)\п {1 + exp [(F — Ec)/kT]}.
