Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
kT* = (Е. - Ed) [In {[Nc(T>)/4gdNd] [ (2gd + 1)2 - Ц )J-‘. Обозначив kT0 = Ec— Ed и y=TJTu получим
у = In [ЛГе (Т0) INd] + In {[(2^ + 1)2 - 1] /4*„}' - (3/2) In у. Для рассматриваемого случая
Г0 = 116 К, NC(T0)~ 2,5 ¦ 10”. см-8.
Таким образом, уравнение имеет вид у = 6,62—1,5 In у.
Его решение есть у = 4,4, следовательно, Г, = 26,2 К. Концентрация электронов прп этой температуре равна
п = Nc (Т0) у~ъп ехр (—у) = 3,3 • 10“ см"3.
19. Из условия нейтральности n-Nt получаем уравнение для концентрации электронов
п2 + nnd/gd — ndNd/gd = 0, nd = Nc exp [ (Ed — EJkT],
откуда
re = (2gd)~1 [(re3 + AgdndNd)1/2 — red].
При низких температурах (когда nd < 4gdNd)
n = {ndNJgd) *'» = (NdNJgd)1/2 exp [ (Ed - Ec) /2kT].
Если же nd » 4gdNd, to re = Nd.
При 300 К в Ge имеем геДЗОО К) = 7 • 1018 см-3, 4gdNd = 1,6 • 101в см"3.
Таким образом, nd>4gdNd и
• n — Nd = 2 ¦ 10“ см-3.
20. Нижняя температурная граница определяется неравенством
nd > 4gdNd, nd = Nc exp [(Ed — Ec)/kT] и находится из условия Ne(Tl')&xp[(Ed-Ecj/kTi] = 4giNd.
Отсюда
Ti = (Ес - Ed)Ik In [Nc (Tj/AgiNl Верхняя температурная граница определяется требова-66
нием, чтобы собственные концентрации были малы по сравнению с примесными
Tli < п.
Поэтому верхнюю границу найдем из уравнения
Nd = Na exp [- (Е. - Ev) /2kT], Ec — Ev = A — \T.
Она равна
Тг = (A/2*)fln [Nc (Тг) /Nd] + \l2k]~\
Введем следующие обозначения:
T'0~(Ee-Ed)/kt. Т"а = А/2 А,
У\. = TJT,, Уъ — То/Т3.
Тогда, для определения границ имеем два уравнения: у, = In [Nc (T'0)/4gdNd\ - (3/2) In ylt уг = In [Nc (T"a)/Nd] - (3/2) In y2 + H2k,
Длл германия эти уравнения приобретают вид
yi = 5,05—1,5 In уи 1/2 = 14,93—1,5 In уг, поскольку*)
Г;-116 К, Г; = 4,5.10* К*
Ne (Т’0) = 2,5-1018 см-3, Nc (Г*) = 6,0- Ю20 см-3.
Из этих уравнений получаем '
у, = 3,27, i/2 = 11,29,
Т, = 35 К, Т2 = 400 К.
21. Аналогично решению предыдущей задачи для JnSb имеем
А = 0,026 эВ, I = 2,7 • 10-‘ эВ • К"1, г; = 11,6 К, г; =1510 К,
Ne (т'0) = 3,5.10“ см-3, Nc (Т'0) =5,2-№ см"3.
Отсюда получаем уравнения
у* = —3,82—1,5 In г/t, уг — 7,13—1,5 In у2.
*) Разумеется, температура Т" имеет лишь чисто формальный смысл,
5* 67
и окончательный ответ имеет вид
j/, = 0,078, у2 = 4,78,
Г, = 149 К, Г2 = 316К.
22. Условие нейтральности записывается обычным образом:
NcOi/2(r\) = Nd U + gdexp [(F — Ed)/kT]}~1,
4=(F-E'j/kT,
а для интеграла Ферми можно использовать приближенное выражение (П. 4)
(I)i/s(Tl) еТ1(1 + 0,27е’1)"\
В результате приходим к уравнению
ехр 2ц + gd1 (1 — O^lNa/Nc) exp [— (Ес — Ed)/kT] exp -п —
— (Nd/gdNс) exp [—(Ec — Ed)/kT\ = 0,
решение которого имеет вид
exp fl= exp [- (Ec - Ed)/kT] ¦ [ {(4^)~1 (1 - 0127iVd/Arc)2 +
+ (Nd/gdNc) exp [(Ec -Ed)lkT]}1/2—(2gd)-1 (1-0,27^/A^)]. Отсюда
F - Ed = k T In [ {(4gfr1 (1 - 0,27Nd/Nc)* +
+ (Nd/gdNc) exp [(?c - Ed)/kT\f2- (2gd)~1(l-0127Nd/Nc)]. При T -*¦ 0 справедливо неравенство t
(0,27)zNd/4gdNc < exp [(?c - Ed)/kT],
поэтому
F = (Ec + Ed)/2 + (kT/2) In (Nd/gdNe).
Если концентрация достаточно велика, уровень Ферми может в определенном интервале температур попасть в зону проводимости. Условие
У - [(^'ЧИ -0127ЛгЛ1пу)3/2/Лгс(Г0)]2 +
+ Ndy(\nyf2/gdNc(T0)]m-
- (2gdT1 [1-0,27^ (Inyf2/Ne(T0)] (1)
определяет температуру, для которой уровень Ферми совпадает с дном зоны проводимости. Мы ввели здесь обозначения
у = exp [(Ес — Ed)/kT], Т0 = (Еа ~ Ei) /k,
68
При малых концентрациях доноров уравнение (1J вообще не имеет корней, и в этом случае уровень Ферми не попадает в зону.
Исследование уравнения (1) удобнее проводить, переписав его в виде
y = -ga' + l(\nyf2t (2)
где X = l,27Nd/gdN'(T0) — параметр, пропорциональный концентрации доноров. Примерный ход кривых, описы-
Рис. 19. К определению критических значений температуры и концентрации примеси, при которых уровень Ферми попадает в зону проводимости.
ваемых левой и правой частями уравнения (2), при различных значениях параметра А показан на рис. 19, где = а h(y) — X(lny)3/2 — gd1* Из рисунка видно, что при концентрациях примеси, меньших некоторой критической концентрации Л^р, уровень Ферми не попадает в зону проводимости ни при каких температурах. При концентрациях, больших критической, имеются две точки пересечения кривой, описываемой правой частью уравнения (2), с прямой, заданной его левой частью; этим точкам пересечения соответствуют две температуры, ограничивающие интервал, в котором уровень Ферми расположен в зоне проводимости. Совместное решение уравнения (2) и уравнения
