Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
%V_
2 tn-^kT
где индекс «1» относится к зоне «легких» дырок, индекс «2» — к зоне «тяжелых» дырок, величины Nei определены как
Nr
1,2
а эффективные массы плотности состояний
Г, _ 6Д'
1 =F 10(л + в')
Отсюда получаем для искомых эффективных масс ^dPl= 0,042т0, тл-р%— 0,33/;г0. Более точный расчет с учетом членов следующих порядков приводит к несколько большему значению эффективной массы «тяжелых» дырок, т<]р2 = 0,35яг0. Полная эффективная масса плотности состояний валентной зоны германия при этом равна
mdp = ("4?! + т%\)213 = 0136пго.
6. Доля «легких» дырок в полной концентрации дырок равна
Л’,.............. .
0,04.
Л
р
NVj_ + Nv2
mdpl ^3/2
dp
Таким образом, «легкие» дырки в германии составляют лишь около 4% всех свободных дырок.
59
7. Как показано в решении задачи 1,
п, = 2 mnmpkT/2лЪг)3/г exp(—EJ2kT).
Подставляя значения эффективных масс и ширины запрещенной зоны, указанные в условии задачи, получаем Ge: п( = 2,2 ¦ 1013 см-3,
Si: щ = 1,05 ¦ 1Q10 см-3.
8. р = [ега<(ц„ + pF) ]-* = [епгЦ„ (1 + 1/Ь) ]-1. Подставляя числа, указанные в условии задачи, получаем
Ge: р « 50 Ом • см,
Si : р « 3,1 • 105 Ом • см.
9. Из условия нейтральности получаем
Л'.Ф,, 2 (п) = Лч ехр [ (Ev - F) /кТ\
поскольку газ дырок в валентной зоне можно считать невырожденным из-за большей величины эффективной массы. Полагая т) —(F — Ec)/kT < 1,3 и используя формулу (П.4)
<JVOl) = i(l + 0,27i)-',
где t = exp г], приходим к следующему уравнению для t: fz — Q,21At — А =0, А *= {mp/mn)3/2 ехр(—EJkT). Решение этого уравнения имеет вид
? = 0,135Л + У0,0182^42 + А.
Без учета вырождения мы получили бы результат
^яевмр “ А.
Отношение (F — EC)/(F — Ес)вевы„ равпо
F-Ee = In (о,135Л + Ко,Р182Л2 + А (Е Ес) невыр In У А
Концентрация электронов, равпая копцентрации дырок, дается обычной формулой
п ^ р — N с exp (-EJkT) exp (— (F — Ec)/kT).
При 600 К мы имеем Eg = 9,8 • 10~г эВ, А = 4,74, t = 2,91,
^невыр ” 2,18;
V __ р я
с_______j о? п ‘невыр _Л7г
(F__? \ „ ~~ ± ~~
\ ^(уневыр "невыр *
60
Отсюда
п = (?Jt) exp (-EJkT) = 3,3 • 10" см-'. .
10. Удельное сопротивление собственного полупроводника равно
Р = [е + №Р)]-1 = («фп)-1Ь/(1 + Ъ) =•
2(1+Ь)е\)п уутп!Пр kT j eKp\2kT ,
При 30 К имеем Е% — 0,773 эВ и
рзо = 1,2 • 1061 Ом ¦ см.
Последнюю цифру, разумеется, нельзя принимать всерьез: в таких условиях играют роль примеси и, может, быть, иные структурные дефекты. Однако проведенная оценка показывает, сколь сильно влияет температура на сопротивление собственного полупроводника. «
Рис. 16. Концентрационная зависимость уровня Фермн в полупроводнике с неэквивалентным минимумами зоны проводимости в условиях сильного вырождения.
11. Полная концентрация электронов равна сумме концентраций в отдельных минимумах
J / (?i (к)) а'Ь + JL J / (Еи (к)) с/к,
п = т + пп
(2л)
где Ei (к) — %2к2/2т!, En(k) = Es +Ti2k2/2mu, а за пачало отсчета энергии выбран край нижнего минимума. Отсюда находим
п = Д^1Ф1/2 (1]) + Л7иФ1/2(г1 — EJkT),
где и Nn — эффективные числа состояний в минимумах I и II. Для невырожденного случая
ц = In [n (N, + Nu exp (-EJkT))-•].
В пределе сильного вырождения имеем
~=г(?р*
, т,т \ 3/2 3/2
l+ hr (I-EJF) Q(F-E.)
f 1, х>0,
ew-k *<».
6i
Примерная зависимость уровня Ферми от концентрации в случае сильного вырождения приведена на рис. 16.
12. Концентрация электронов в верхнем минимуме равна
ОО
"п = —з j / (Еп (k))dk = Nn exp fi-jT1)
= n?exp (— EJkT) [1 -f ?exp(— EjkT)\~'f где l, = ArnAYi = (mn/mi)3/1 = 58. Искомое отношение есть пц/ih = nu/(n- /ги)= ? exp (-EJkT).
Подставляя сюда численные значения параметров, находим
”п(300К) по 0-< "п(1000К)
И (300 К) ’ 5 ^(1000 К) ‘
13. Проводимость равна
g = enl (Xj + еиц^п = (1 + «nj.in/^ij.ii) =
¦= enjij [1 + ^(|хп/(х1)ехр(—EJkT)][i + ? exp(—EJkT)}-'. В области T < EJk имеем a ~ a0 = при высоких тем-
Рпс. 17. Температурная зависимость проводимости полупроводника с неэквивалентными минимумами зоны проводимости (схематически).
