Сборник задач по физике полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
59*. Вычислить стационарную концентрацию электронов в образце /г-Ge с золотом в условиях заметной примесной подсветки. Концентрацию дырок считать пренебрежимо малой. Температура образца Т = 20 К, концентрации мелких доноров Nd и атомов золота NAu удовлетворяют неравенствам
27VAu < Nd < 3TVAu.
Принять во внимание, что в указанных выше условиях 8одото в германии играет роль акцептора, способного захватывать два или три электрона. Соответствующая схема уровней представлена на рис. 3 (см. стр. 20). Коэффициент захвата.электронов на дважды отрицательно заряженные ионы золота а„ и сечение захвата фотона трижды отрицательно заряженными ионами золота принять соответственно равными 10-12 см3 с-1 и 10-1в см2. Поток фотонов составляет 1015 см-2 с-1; концентрации доноров и золота соответственно равны
Ni = 2,5 • 10” см 3 и NAu = 1015 qm-3.
Глава 3
ДИФФУЗИЯ II дрейф носителей заряда
При неоднородном распределении носителей заряда в образце возникают диффузионные токи. Плотности диффузионных электронного и дырочного токов определяются выражениями:
jn дифф = eDn grad п, j„ дифф = — eDv grad р, (3.1)
где е — абсолютная величина заряда электрона, Dn и Dv — коэффициенты диффузии электронов и дырок, п и р — их концентрации. Полные плотности электронного и дырочного токов в рассматриваемых условиях складываются из диффузионной и дрейфовой составляющих:
j„ = eDn grad п + еп\ап&, jp = — eDv grad p + ерцр&. (3.2)
Здесь p„ и — подвижности электронов и дырок.
В состоянии равновесия ток в монополярном — например, электронном — полупроводнике отсутствует:
Jn Jn дифф Jn ДР — (3.3)
Вычислив концентрацию электронов по формуле (1.5) с учетом сдвига дна зоны проводимости на величину —еф(г), где ф — электростатический потенциал, найдем по формуле (3.1)
е D-п dn , /о /\
jn дифф — grad (pf (3.4)
где т] =(F — Ec)/kT.
Отсюда на основании уравнений (3.2) и (3.3) получаем
D„ = nnnkT^e^j. (3.5)
Аналогичное соотношение получается и для дырок:
—Р^г((е|). (3.6)
В случае невырожденных полупроводников, когда справедлива формула (1.7), равенства (3.5), (3.6) переходят в соотношения Эйнштейна:
Dn = nnkT/e, Dp = HpkT/e. (3.7)
Кинетика электронов и дырок описывается уравнениями
27
непрерывности:
дп Ап , 1 ,. др Ар 1 /о q\
_=?__ + _dlvJu, _dlvjp. (.,8)
Здесь Ап и Ар — разности между концентрациями электронов и дырок п и р и их равновесными значениями /г0 и Ра\ g — число электронно-дырочных пар, генерируемых в единицу времени в единице объема образца.
В случае оптической генерации
g = ЛТ-/ехр(—jx), (3.9)
где т] — квантовый выход, у — коэффициент поглощения света, 7ехр( — ух)—плотность потока квантов. Далее, тп и тр — времена жизни электронов и дырок (вычисляемые по формулам (2.1) и (2.6)). При рассмотрении процессов диффузии обычно вводят характерные величины размерности длины
Ьп = УБптп и = }DPTP, (3.10)
называемые диффузионными длинами электронов й дырок соответственно.
К уравнениям (3.8) и (3.2) следует в случае нарушения электрической нейтральности добавить еще уравнение Пуассона
div S = 4лр/е, (3.11)
где р — плотность электрического заряда, а е — диэлектрическая проницаемость полупроводника.
Заметим, однако, что довольно часто можно считать выполненным условие локальной электронейтральности полупроводника. В отсутствии прилипания, т. е. при т„ = тр — т, это означает, что
Ап = Ар, р = 0, div(j„ + jP)= 0. (3.12)
При этом диффузия и дрейф электронов и дырок взаимосвязаны: возникает добавочное электрическое поле, тормозящее более быстро диффундирующие носители и подтягивающее более медленные. Распространение единого нейтрального фронта избыточных носителей описывается, согласно (3.8) и (3.12), уравнением
Щр- = g — —¦ + div (D grad Ар) — (,ig grad Ap} (3.13)
где D — коэффициент биполярной диффузии, jo, — бипо-
28
лярная дрейфовая подвижность:
D = "tP/n . ^ == -Г--С-Т— • (3-14)
-|- p/Dn' r п/i 1р + р/цп
Характерной длиной этого процесса является длина биполярной диффузии L
L = Wr. (3.15)
Уравнение биполярной диффузии значительно упрощается в тех случаях, когда D — константа. Это, например, имеет место, если доминируют носители одного типа; при этом D есть коэффициент диффузии неосновных носителей. В условиях собственной проводимости имеем
2D D
