Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
приближением. Соответственно положим
Т (х, 0 - Т + (х • УТ), F(x,t)~F + (x- VF), (4.20)
где Т и F - средние по подсистеме значения температуры и
электрохимического потенциала. В задаче о вычислении кинетических
коэффициентов градиенты VT и VF можно считать постоянными в пространстве
и во времени.
Рассматривая временную эволюцию системы на кинетическом этапе, будем
искать решение кинетического уравнения для прыжкового переноса (3.18) в
виде
M/) = f(?>, R>.) + (О- (4.21)
Здесь бfi(t)-флуктуации чисел заполнения узлов, возникающие при
протекании потоков частиц и энергии через систему локальных центров со
случайным разбросом вероятностей переходов. В линейном по градиентам
приближении имеем
h(i) " пР (Ек) + пР (Е}) [\-nF (?,.)] Ra [|ИГ + У (-?)] + бfK,
(4.21')
причем равновесная функция nF(Ei) есть точное решение уравнения (3.18).
Подставляя (4.2Р) в (3.18), мы приходим к уравнению вида (4.13), с тем
лишь отличием, что вместо величин U%%r в нем фигурируют разности
обобщенных потенциалов
Vw- иш+ R" [-Т"w + т V (т)] - [-Т1 V!" + V 40)].
(4.22)
Уравнения (4.13) с заменой полностью описывают
термоэлектрические явления переноса по локализованным состояниям.
5 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В ^.-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
213
§ 5 *. Плотность тока в ^.-представлении
Для определения плотности тока в ^-представлении (2.1) в принципе можно
воспользоваться любым из стандартных выражений, связывающих плотность
тока с одночастичной матрицей плотности. Например,
(5.D
Ш %%'
где v - оператор скорости. Следует отметить, что при вычислении плотности
тока в макроскопической системе в выражении
(5.1) надо выполнить термодинамический предельный переход Q->oo; этот
переход должен выполняться до всех других предельных переходов (например,
до перехода со->0). В условиях, когда рассматриваемые базисные функции
локализованы (т. е. описывают нетоковые состояния), выполнение
термодинамического предельного перехода в формуле (5.1) при конечных t
или со не всегда тривиально [42]. Действительно, как мы видели в § 3,
прыжковая составляющая плотности тока определяется диагональными
элементами одночастичной матрицы плотности. Однако "внутренние"
состояния, локализованные далеко от границ системы, в области, где
установилось стационарное значение плотности тока, в пределе со -> 0 не
дают вклада в диагональную часть суммы (5.1): для этих состояний df%/dt =
0. Для фактического выполнения перехода Q->-oo более удобной
представляется иная форма записи выражения для плотности тока - через
объемные характеристики системы (т. е. через характеристики "внутренних"
центров).
Выведем альтернативные выражения для плотности тока непосредственно из
уравнения непрерывности
divj(x, t) - e дп(*'t] =0, (5.2)
где
п (х, 0 = ? аш М fw (0, (5.3)
АА'
a
"w W = Фл W VOO- M
Рассмотрим вначале линейный отклик системы на внешнее возмущение, полагая
Ьп(х, /)=? <*аа'(х)6/аа/(0- (5-5)
АХ'
214
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
В линеаризованном уравнении непрерывности удобно перейти к фурье-
представлению по пространственным координатам и времени, полагая
оо
j (к, со) = ^ dx ^ dt е~ ikx+'"*j (х, /), (5.6)
- ОО
и аналогично для б/г(к, со). Тогда из уравнения непрерывности
(5.2) мы получаем для продольной компоненты плотности тока
/, (к, (r))-
/, (к, о>) = - е ¦§¦ 2 №) in) (5.7)
Ш
(в дальнейшем мы для краткости опускаем значок I). Заметим, что, как и в
обычной теории явлений переноса [45], в слабо неоднородных и медленно
изменяющихся полях предельные переходы k->0 и со->0 некоммутативны: для
вычисления статической проводимости (или плотности тока) нужно сначала
выполнить предельный переход ?->0 (при постоянной напряженности поля), а
уже затем устремлять к нулю частоту со. Обратный порядок предельных
переходов соответствует задаче об экранировании статического поля. При
этом плотность тока естественно равна нулю.
Разобьем сумму в (5.7) на недиагональную (с X ф X') и диагональную (с X =
X') части:
/ (к, со) = /(1) (к, со) + /2) (к, со) =
==~1Г Tj "лл'ОО 6hi' ((r)) ~ IT Z "а М М (5-8)
ш к
&'Ф%)
К(к) = аи(к)).
Вклад недиагональных элементов матрицы плотности можно найти, подставляя
в (5.8) выражение для 6/и/(со), полученное из уравнения (3.23), в правую
часть которого добавлены слагаемые
X {(X' \Г\ХУ) - (Xi | У | A) (5.9)
связанные с внешним электрическим полем. Выражения (3.24),
пропорциональные g2, дают вклад в /<2)(к, со), содержащий произведения
трех недиагональных матричных элементов типа
(Я | х | Ал) BthMl' (ta Я, Х2фХ\, X' Ф Я2). Этим вкладом можно
пренебречь, когда функции ф?, (х) сильно локализованы.
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В А-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
215
Остается лишь вклад от слагаемых (5.9), который можно записать в виде
/'¦(к. в) = - " f X "ц, (к) (V[ У |Я) . (6.10)
кк'
(кфк')
В последнем выражении можно выполнить предельный переход ?->0, замечая,
что для малых k в области локализованных состояний au, (k) *=" - ik{K \
х\%') (ось Ох направлена вдоль вектора к). Отсюда для средней плотности
