Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
оказываются блокированными. С этим и связано существенное отличие
рассматриваемой системы от системы регулярно расположенных центров, для
которых, очевидно, в силу их эквивалентности все бFk одинаковы, и в
отсутствие макроскопического градиента концентрации величины Ukk>
представляют собой разности электростатических потенциалов. Ниже при
использовании уравнения (4.13) для конкретных расчетов мы вернемся к
важному вопросу о роли зависимости разностей потенциалов t/U' от величин
5Д, 6/у.
Величину
(4.13)
¦хх' = ~Y *-'X'UXX'
(4.14)
210
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
можно рассматривать как парциальный поток между центрами Я и Я'; тогда
согласно уравнению (4.13) изменение среднего числа электронов в состоянии
Я в единицу времени равно сумме вытекающих парциальных потоков. В
частности, в стационарном случае
0 (4.15)
- сумма парциальных потоков в каждом узле обращается в нуль. Задача об
отыскании величин бfi (или U%) на основании
уравнения (4.15) эквивалентна задаче об отыскании потенциалов в узлах
случайной сетки сопротивлений (рис. 12), каждый узел Я которой связан с
каждым из остальных сопротивлением
2и'=(тМ-1 (4Л6)
(А. Миллер, Э. Абрахамс, 1960). Уравнение (4.15) есть не что иное, как
закон Кирхгофа для такой сетки, а задача об отыскании величин Uх с
помощью закона Кирхгофа эквивалентна рассматриваемой задаче в
стационарном случае.
В общем нестационарном случае система уравнений (4.13) эквивалентна
задаче об отыскании напряжений в узлах обобщенной случайной сетки (М.
Поллак, 1974; эта сетка изображена на рис. 13). Каждый узел ее соединен с
источником напряжения Т%/е через емкость
Рис. 12. Случайная сетка сопротивлений. U^ , ... - электрохимические
потенциалы в узлах ...;
-Ыг>
сопротивле-
ния между узлами.
Cfc = 4- nP(E>)[l-nF(Ex)].
(4.17)
Величины -еб/х в этом случае отвечают зарядам в узлах, т. е. на
соответствующих емкостях, и определяются уравнением
d6k_ V (гк~гх' , e6k
е-
dt
? zw (
"/ 4
с
(4.18)
Указанный подход к задаче может иногда оказаться полезным в связи с тем,
что картина случайной сетки сопротивлений отличается большой
наглядностью.
Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на случай, когда в системе
имеются термические возмущения (И. П. Звягин, 1973). В случае достаточно
медленного изменения интенсивных термодинамических переменных в
пространстве можно
f 4. ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 211
говорить об их локальных значениях и ввести представление о локально-
равновесном распределении. Медленность здесь означает, что систему можно
разбить на объемы, которые, с одной стороны, столь малы, что изменение
термодинамических переменных в них пренебрежимо мало, а с другой стороны,
достаточно велики (макроскопичны), так что флуктуации плотности частиц и
энергии в них не играют существенной роли. Возможность введения локально-
равновесных распределений обусловлена существованием иерархии временных и
пространственных масштабов, характеризующих процесс релаксации системы к
равновесному состоянию. Как мы видели в § 3, после начального быстрого
этапа эволюции, происходящего за время порядка %/Е, дальнейшая эволюция
системы (при t %/Е) может быть описана кинетическим уравнением (3.18). В
области сильно локализованных состояний это уравнение сохраняет силу и
для пространственно неоднородных распределений. На кинетическом этапе
(при t^>%/E) за время порядка то происходит частичная релаксация системы
к неоднородному состоянию, характеризующемуся медленно меняющимися в
пространстве и во времени плотностью частиц и температурой. Дальнейшая
релаксация неоднородных распределений к состоянию полного равновесия
может быть описана с помощью макроскопических уравнений (типа уравнения
диффузии). В теории плотных газов этот этап называют гидродинамическим.
При этом временная зависимость одночастичной матрицы плотности
определяется уже ее зависимостью от локальных температуры и плотности
числа частиц. Обозначим через хи и Lh время релаксации макроскопически
неоднородной системы и характерный масштаб неоднородности, причем, вообще
говоря, Lh может быть порядка размера системы L, а хн- зависеть от L.
Локально-равновесное распределение можно ввести на гидродинамическом
этапе для времен t и пространственных масштабов /, удовлетворяющих
неравенствам
т0 < / < тА, Lc0 < I < Lh.
Здесь Leo есть характерный масштаб, определяющий корреляцию флуктуаций
чисел заполнения в рассматриваемой задаче; отметим, что он может
существенно превышать характерную
Рис. 13. Обобщенная случайная сетка.
212
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
длину перескока г*. Локально-равновесное распределение можно записать в
обычном виде:
f (.Е, х, 0 = { 1 + ехр ( g ~ ^ , (4.19)
где T(x,t) и F(x,t) - локальные значения температуры и электрохимического
потенциала.
Рассматривая времена t -С Тй и подсистему А с размером La -С Lh, мы можем
считать изменения температуры и локальной концентрации частиц в пределах
этой подсистемы достаточно малыми и ограничиться линейным по градиентам
