Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
состояниями X и X'. Используя выражение
(3.13) для qi(J\ выражение (3.19) можно записать в виде _ sign (Е% -
Е%,) u 1 - ехр {- (?а - Ек,)/Т} ^ -
где множитель
(r)и' = т- siSn ~ Z'Вк' I"(_ 1)У ^ А(r)^ =
<7/
= х?1В^|2б(|Ел-?г|-Йсо9) (3.21)
я
не зависит от температуры. Тем самым в выражении (3.20) явно выделена
температурная зависимость вероятности перехода.
Кинетическое уравнение (3.18) описывает эволюцию диагональной части
матрицы плотности в отсутствие внешнего поля. В рассматриваемом нами
случае переноса по локализованным состояниям это уравнение не содержит
обычного диффузионного члена. Диффузионный ток, однако, можно вычислять с
помощью уравнения (3.18), накладывая соответствующие граничные условия и
учитывая изменение функции Д в пространстве. Для малых градиентов
концентрации это изменение можно описать, вводя координатную зависимость
энергии Ферми (см. § 4).
В области локализованных состояний уравнение (3.18) имеет простой смысл:
оно описывает баланс электронных переходов
$ 3, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
205
между локализованными состояниями. Отметим, что, как и следовало ожидать
на основании принципа детального равновесия, правая часть (3.18)
обращается в нуль, если в качестве /х взять равновесную функцию Ферми *)
nF (?*,) = { 1 + ехр - % ---¦ | . (3.22)
Справедливость проведенного разложения определяется применимостью условия
(3.9). Используя уравнение (3.4) и расцепление типа (3.11), для
недиагональных элементов матрицы плотности /ха' (кфк') получаем уравнение
0^ ~W Е}. - ?х') fix' -
t
= \ л-{[МО(1-МОК"-
К\1 - ОО
- /а, (О (1 - /а (О) Ф VI ехр [ЙОД, (/ - О] -
- [/а, (О о - /х' (О) ф'л - /х' (О (1 - /х, (О) ф(_У>] X
X ехр [/Qva' (/ - о]}- (3.23)
Из этого уравнения в марковском приближении получаем
* 1 У pQ р-Ч I ^аО -и^-^А.О -О'Р-?7'
/и' ~ ~ Л, oa'a.da.a 1 -------------. ; ., -----------
El~El'tfq ^ ?А-?А1 + (-1)/йш9
(1^п (3.24)
Матричные элементы Вха' в рассматриваемом случае пропорциональны не
только безразмерной константе электрон-фо-нонной связи, но зависят и от
перекрытия волновых функций состояний к и к'. Соответственно малость
недиагональных элементов первой матрицы плотности по сравнению с
диагональными определяется условием
Й/т < Ё. (3.25)
Здесь Е есть характерная разность энергий локализованных состояний,
отвечающая наиболее вероятным прыжкам, а г-1 - ха-
*) Заметим, что при учете динамической корреляции между электронами с
противоположными спинами, попавшими на один и тот же локальный центр, вид
равновесной функции заполнения состояний, вообще говоря, будет отличным
от (3.22). Так, в пределе сильной корреляции в функцию (3.22) следует
ввести фактор вырождения, аналогичный возникающему обычно в теории
примесных локальных уровней в запрещенной зоне (см. ниже, § 13).
206
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
рактерная частота прыжков. Величины Е и т, вообще говоря, зависят от
условий опыта и природы системы. Из соотношений
(3.18), (3.19) видно, что время т обратно пропорционально квадрату
константы электрон-фононной связи и квадрату интеграла перекрытия
волновых функций центров.
Как и в теории плотных газов Н. Н. Боголюбова, условие t^$>%/E определяет
кинетический этап эволюции, когда становится возможным сокращенное
описание поведения неравновесной статистической системы с помощью
одночастичной матрицы плотности [43]. В отличие от условия применимости
уравнения Больцмана, в котором Е есть характерная энергия частиц (Т или
F), здесь Е - порядка изменения энергии при переходах. Отметим далее, что
релаксация рассматриваемой неупорядоченной системы на кинетическом этапе
может и не быть экспоненциальной; кинетическое уравнение дает возможность
описания переходных процессов и на этой стадии, коль скоро t %/Е. Лишь
при достаточно больших временах релаксация приобретает экспоненциальный
характер и может быть описана единым временем релаксации т0. Неравенство
t т0 определяет переход к гидродинамическому этапу эволюции, когда
становится возможным дальнейшее сокращение описания системы и переход к
макроскопическим уравнениям для термодинамических переменных- плотности
частиц и температуры.
§ 4. Отклик системы на внешнее электрическое поле
и градиент температуры
Уравнение баланса (3.18) описывает релаксацию системы к равновесному
состоянию в отсутствие внешних полей, когда гамильтониан имеет вид (3.3).
При наличии внешнего поля соответствующий гамильтониан (2.10) можно
представить в виде суммы двух частей - диагональной и недиагональной по
индексам X:
HF=ZrKa+ak+ I (Х\Г\Х')а/ак,. (4.1)
лл
(к'Фы
Здесь
Тх = (Х\Т\Х) (4.2)
есть средняя потенциальная энергия электрона в действующем поле в
состоянии X. Очевидно, первое слагаемое в (4.1) можно объединить с
гамильтонианом Яе из (2.15). Учет его сводится к перенормировке энергий
Е%\
Ех->Ёх = Ек + Гх. (4.3)
Таким образом, учет диагональной части гамильтониана (4.1) сводится
просто к замене энергий Ех в выражениях (3.18), (3.19)
§ 4, ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
