Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
входят компоненты квазиимпульса, второй член в левой части (3.4) дает
диффузионный член кинетического уравнения при наличии плавной
пространственной неоднородности.
При наложении внешнего электрического поля, описываемого гамильтонианом
(2.10), в правой части уравнения (3.4) появляется дополнительное
слагаемое
о.?"
При переходе к импульсному представлению оно приводит к обычному
выражению для полевого члена кинетического уравнения.
Уравнение (3.4) зацепляется за уравнение для функций типа которое имеет
вид
{ihik+Ei " К + (-1)' Н} (К">. =
- I Кь ({¦ЖЛ"> - KvXW)}- (з-з)
Будем пока считать, что Bly - 0 при % = X'. Слагаемые с X = X' можно
исключить каноническим преобразованием, осуществляющим переход к новым
операторам рождения и уничтожения электрона. Как и в обычной теории
поляронов, эти операторы отвечают состояниям электронов в деформированной
атомной матрице - материале, атомы которого смещены в новые положения
равновесия. Учет этой деформации может оказаться
202
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
существенным при рассмотрении многофононных перескоков (см. § 7).
Будем считать взаимодействие, вызывающее переходы между локализованными
состояниями, достаточно слабым. Соответственно положим Bit,'~ g> где g-
формально введенный безразмерный малый параметр (фактический параметр
разложения будет указан ниже). В силу наложенного выше условия при t = -
с" диагональные элементы fkk{t) = f%{t)-порядка g°, а функции и
fkV{t) при ХфХ' - по крайней мере по-
рядка g. Соответственно должно иметь место условие
/а" /и' (ЬФП (3.9)
Уравнение для диагональных элементов одночастичной матрицы плотности,
согласно (3.4), имеет вид
4-!|тЕ4.(*я0 <зло>
*141
Для того чтобы получить замкнутое уравнение для функций Д, нужно выразить
через них правую часть уравнения (3.8), проведя соответствующее
расцепление. Расцепление проводится путем выделения всевозможных
спариваний электронных операторов с учетом условия (3.9), причем фононная
система считается находящейся в равновесии*). Например,
^ "I- 0 ^,)} (3.11)
Это расцепление аналогично расцеплению цепочки уравнений для
двухчастичной функции Грина, используемому в теории явлений переноса
делокализованными носителями заряда ("зонный перенос") [44].
Непосредственным сравнением уравнений для левой и правой частей выражения
(3.11) нетрудно убедиться, что параметром расцепления служит введенная
выше безразмерная константа g.
Для равновесных функций имеем
<№>0 = { К + т) I / - * I - W -X. (3.12)
где Nq есть обычная функция Бозе - Эйнштейна: Nq =
= (ехр-^у2-l) ; /, 1=1, 2. Очевидно, среднее (3.12) от-
*) Это упрощение оправдано при не слишком большой силе тока и достаточно
хорошем теплообмене между образцом и окружающей средой. Б интересующих
нас линейных задачах это условие, как правило, выполняется. При этом
следует иметь в виду, что в области локализованных состояний эффекты
увлечения отсутствуют (см. ниже, § 12).
5 3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 203
лично от нуля лишь при / Ф I (т. е. при / = 3 - /) и выражается через
функцию
Ф=(РХ;'\=-Г~кг- ¦ (3'13)
ехр [(-1)/ - 1
После расцепления уравнение (3.8) принимает вид
{"> W + к - к, + ( -:1 >'"%} (W?) =
- {ц(* - к) ф(; - и (I - к) <?-л (з.и)
Его можно решить относительно функции с начальным условием _ао==(r)
(адиабатическое вклю-
чение взаимодействия при t= - оо). Получаем
t
("|,=-1 \ ВЦ{4(0(1 -ц,(/'))ф"'-
- ОО
- /х, (О С1 - /л (О) Ф V) ехР [*¦ (?* - •ЕК + (-1)/ Ч)(/ - °]- (3-15>
После подстановки (3.15) в (3.10) получается замкнутая система уравнений
для функций
t
й!^г=-2Ке \ "'ЕК.ПМ'Щ-аюК'-
- оо k\qj
- к (О (1 - А (О) ф1? л "р [<¦ № - + (-1)'"",)(' - О].
(3.16)
Отметим, что полученное уравнение описывает немарковский процесс, т. е.
процесс "с памятью", когда значение производной dfi/dt определяется
значениями функции />(/) во все предшествующие моменты времени. Подобные
немарковские поправки появляются при рассмотрении членов высших порядков
и при квантовомеханическом обобщении уравнения Больцмана. Мы увидим
сейчас, что если ограничиться членами низшего порядка по параметру g, то
уравнение (3.16) переходит в марковское. Действительно, правая часть
(3.16) может быть представлена в виде суммы членов типа
t
J dt'TXliOexpbotfLit-Ol (3.17)
- ОО
где - ?*,, + (- I)1 а выражение для
легко получается из сравнения (3.17) с (3.16). Подынтегральное
204 ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
выражение здесь представляет собой произведение осциллирующей функции на
функцию (0> зависимость которой от времени определяется зависимостью от
времени функций Основной вклад в интеграл (3.17) дает область
значений t - t'^ ?2м,- Если эта область меньше характерного времени
релаксации т, определяемого кинетическим уравнением, то в подынтегральном
выражении (К) можно заменить на а, (0, и вместо (3.16) имеем
Ж= - Z - М - U - h)h (3.18)
где
t
Wm = |г?1 Bjy |2Ф(,Л Re \ dt'exp [/Q&(t -1')] =
ql -оо
=-г ? Iвк'l2ф("/>б- E*+(_!)/ йсо^' <3-19>
Ql
Величина Wесть не что иное, как вероятность однофононного перехода между
