Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ibh' Q
Индекс q здесь обозначает совокупность квантовых чисел, характеризующих
колебания решетки, для длинноволновых акустических колебаний это есть
просто волновой вектор фонона (см. § II. 4); Ь%, bq- операторы рождения и
уничтожения фононов, а В\%, есть матричный элемент величины Bq(x), взятый
С волновыми функциями фл(х). Обобщенные координаты и импульсы связаны с
операторами рождения и уничтожения фононов bq обычными соотношениями:
Qs=JvHi, м
q V2 dQq i л/2
Всюду в дальнейшем при рассмотрении колебаний атомной матрицы мы будем
ограничиваться гармоническим приближением. С учетом (2.8) гамильтониан
колебаний атомной матрицы принимает стандартный вид:
tfph = LA<D*№?+V*)- (2.9)
Вообще говоря, суммирование в (2.9) включает в себя все типы колебаний, в
том числе и локализованные фононные моды.
§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН В А-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
199
Гамильтониан взаимодействия электронов с внешним электрическим полем Hi в
^-представлении имеет вид
я, = ?(лтл'КЧ'> (2.10)
М'
где (А| Т |А,')= ^ dx (х) F (х) (х), а Т (х) есть изменение
потенциальной энергии электрона при наложении внешнего электрического
поля. При нашем выборе базисной системы имевшиеся в отсутствие внешнего
поля внутренние поля, формирующие спектр, считаются уже включенными в
гамильтониан Яе.
Величина Т(х) представляет собой разность между потенциальной энергией
электрона во внешнем поле и в отсутствие поля; ее называют потенциальной
энергией в "действующем" поле, которое, таким образом, создается как
внешними зарядами, так и перераспределением зарядов системы, вызванным
внешним полем. Мы увидим ниже, что изменение среднего числа заполнения от
узла к узлу может заметно флуктуировать; соответственно даже при слабых
внешних воздействиях действующее поле может быть весьма неоднородным.
Наконец, гамильтониан "остаточного" (не включенного в Не и Н{) электрон-
электронного взаимодействия в ^-представлении имеет тот же вид, что и в
формуле (II. 16.1):
Яее==Т Z к'\у\)aZaZ'aK[aki' (2-10
/ t
где
(I, k'\V\k'i, Л0 =
= jj dx dx'^l (х) ф*,(х') V (х - х') фх/ (х') фА[ (х). (2.12)
В виде (2.11) можно представить не только кулоновское взаи-
модействие носителей заряда, но и эффективное их взаимодействие,
обусловленное либо обменом фононами, либо локальной перестройкой решетки
в окрестности локализованного носителя заряда.
Основной кинетической характеристикой системы служит неравновесная
одночастичная матрица плотности
= SPP (0^%, (2.13)
где р(/) есть полная неравновесная матрица плотности. Она удовлетворяет
уравнению
ih^ = [H,P(t)] (2.14)
200
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
с полным гамильтонианом
Я = Яе + ЯрЬ + Яе. Ph + Яее + Я, (2.15)
(в гамильтониан, очевидно, можно включить и магнитное поле). Величина
(2.13) может описывать также наличие термических (не включенных в
гамильтониан) воздействий типа градиента температуры.
Основные кинетические характеристики системы (электропроводность,
термоэдс, коэффициент диффузии и т. д.) можно выразить через
одночастичную матрицу плотности (2.13). Удобно, однако, обсудить
подробнее вопрос о конкретном виде этих выражений несколько ниже, в § 5.
§ 3. Кинетическое уравнение
Рассмотрим вначале процесс временной эволюции системы в отсутствие
внешних полей. В настоящем параграфе мы получим (И. П. Звягин, Р. Кайпер,
1972; см. обзоры [37, 42]) кинетическое уравнение для одночастичной
матрицы плотности с помощью методов, аналогичных используемым в теории
необратимых процессов [43]. Для получения кинетического уравнения
воспользуемся уравнениями движения для операторов а?, ак в представлении
Гейзенберга. С этой целью перепишем выражение (2.13) для fU'(t) в виде
(3-1)
где р (0) = р (*) k-о. а
а*(0 = ехр(-^Я*)ахехр(-?я/) (3.2)
есть оператор в представлении Гейзенберга.
Удобно применить стандартный прием, известный из квантовой теории поля.
Именно, будем считать, что все взаимодействия (с внешними полями и между
частицами) адиабатически включаются при t = -оо. Соответствующая матрица
плотности р0 = р(-оо) описывает систему равновесных невзаимодействующих
электронов и фононов, а матрица плотности р(0) уже включает в себя
эффекты всевозможных взаимодействий. Кинетическое уравнение представляет
собой замкнутое уравнение для функции /U' (0, не содержащее величин,
усреднение в которых проводится с матрицей р0.
Запишем уравнение движения для функции (/), считая, что внешних полей
нет, а гамильтониан имеет вид
Я - Яе -{-Я ph "Г Яе, ph.
(3.3)
§ 3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
201
Мы пренебрегаем здесь эффектами, связанными с прямым взаимодействием
электронов друг с другом; роль их будет обсуждаться в §§ 13, 14. Имеем
dt
=Z К-i. <°ХО - s" о-и 2), (з.4)
Я-i qj
где для сокращения записи введены обозначения
(з-5)
<...) = Spp(О .... (з.б)
а через -q обозначены квантовые числа фононов в состояниях, сопряженных
по времени, так что, например, В%%' = (ВЬ ь) •
Уравнение (3.4) справедливо и в случае, когда состояния делокализованы. В
стандартной зонной теории кристаллов, когда в набор квантовых чисел
