Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в увеличении затухания фононов с данным квазиволновым вектором и в
возможном появлении локальных и квазилокальных колебаний (естественно, не
характеризуемых никаким квазиволновым вектором)*). Частоты локальных
колебаний лежат выше "кристаллических" ветвей. При малой концентрации
примеси эти частоты образуют дискретную совокупность. При увеличении
степени беспорядка здесь, по-видимому, возможно образование участков
всюду плотного спектра (И. М. Лифшиц, 1964).
Представление о плотности состояний, использованное выше для описания
энергетического спектра электронов и дырок, можно ввести и для фононов.
Именно, в условиях термодинамического равновесия концентрация фононов
данной ветви (нумеруемой индексом v) дается выражением
Г pnh ,, (a) da
(4Л)
Здесь pph,v(w) есть плотность фононных состояний:
Pph, v(w) = -2(SpImZ)<7>(co)), (4.2)
где ?)<.Ч(ю)- фурье-образ запаздывающей фононной функции Грина.
Как и в случае электронных состояний, дискретным частотам атомных
колебаний отвечают дельтообразные особенности pPh(со); в участках всюду
плотного спектра можно заменить в ^4.1) сингулярную функцию pPh(со)
сглаженным выражением pPh (со), представляющим собой огибающую
дельтообразных пиков.
Ко второму типу относятся жидкие, аморфные и стеклообразные материалы.
Совокупность атомов в них мы будем называть матрицей. В этом случае
тепловое движение атомов при не слишком высоких температурах также можно
рассматривать в основном как малые колебания около положений равновесия;
в отличие от кристаллов, однако, сами эти положения равновесия могут
(сравнительно редко) изменяться со временем **).
Как известно из механики, в гармоническом приближении представление о
независимых друг от друга нормальных колебаниях можно ввести для любой
системы колеблющихся частиц. Таким образом, представление о фононах
остается в силе и здесь. Однако, поскольку положения равновесия атомов
матрицы не образуют кристаллическую решетку, в данном случае нельзя
характеризовать нормальные колебания с помощью ква-
*) Обзор современного состояния теории локальных и квазилокальных
колебаний можно найти в книге [24].
**) Подробное рассмотрение теплового движения в жидкостях можно найти в
книге [25].
$ 4. СПЕКТР ФОНОНОВ (КАЧЕСТВЕННЫЕ СООБРАЖЕНИЯ)
63
зиволнового вектора. С другой стороны, представление о плотности фононных
состояний (вместе с формулами (4.1) и (4.2)) сохраняет точный смысл и
здесь.
Полное описание спектра фононов в рассматриваемых системах, включая и
расчет функции pph(co), составляет весьма сложную задачу. Некоторые
выводы, однако, можно сделать без каких-либо предположений модельного
характера.'
Во-первых, обычные звуковые волны распространяются и в неупорядоченных
средах. Это означает, что при достаточно больших длинах волн затухание их
оказывается сравнительно небольшим. Коль скоро длина волны значительно
превышает среднее межатомное расстояние в матрице, мы вправе
рассматривать последнюю как непрерывную среду, характеризуя ее
феноменологическими коэффициентами упругости и вязкости. Это приближение
называется гидродинамическим. Из механики сплошных сред известно, что в
указанных условиях коэффициент затухания звука пропорционален квадрату
его частоты, что и оправдывает сделанное выше утверждение.
Таким образом, в применении к рассматриваемым материалам остается в силе
представление о длинноволновых акустических фононах, характеризуемых,
однако, не квазиволновым, а просто волновым вектором к. Последний
линейно связан с частотой со. В дальнейшем мы будем
пользоваться простейшим
законом дисперсии для таких фононов, полагая
о)ac = &s, (4.3)
где s - скорость звука. Соответствующая плотность состояний имеет обычный
вид:
(r)2 / л
Pph, ас ¦ 2jt2S3 ¦ (4-4)
Во-вторых, экспериментально установленный факт сохранения ближнего
порядка в интересующих нас материалах наводит на мысль о возможности
сохранить и представление о длинноволновых оптических колебаниях атомов
матрицы. Эти колебания в известной мере аналогичны наблюдаемым в
кристаллах, причем роль "элементарной ячейки" играет, например,
совокупность атомов в первой координационной сфере (включая и центральный
атом). Тепловое движение приводит, в частности, к малым изменениям
относительного расположения атомов в пределах каждой из указанных
"структурных единиц"; благодаря межатомному взаимодействию эти деформации
неизбежно должны распространяться по всей матрице. Следует ожидать, что,
коль скоро деформации в соседних структурных единицах примерно одинаковы,
затухание соответствующих колебаний в системе с короткодействующими
силами окажется не слишком большим. Соответственно могут распространяться
волны дефор-
64 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
маций указанного выше типа. Соответствующий закон дисперсии должен иметь
вид
(c)opt (k) = coo - а/г2, (4.5)
где а - постоянная, к - волновой (не квазиволновой!) вектор.
Наконец, в-третьих, в рассматриваемых материалах, как и в веществах
