Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
полупроводников и халькогенидных стекол.
§ 2. Поглощение света в гладком гауссовом случайном поле
Рассмотрение междузонных переходов при наличии гладкого случайного поля
удобно производить порознь для двух случаев, указанных в § 1:
A) ?/с(х) = ?/"(*) и Б) Uc(x) Ф Uv (х).
А) Одинаковое искривление зон*): Uc(x)-Uv(x)> Как Мы видели в § 1, в
данном случае принципиально необходим учет квантовых поправок. Вычисление
одночастичных функций Грина содержится в Приложении XII. Подставляя
выражения (П. XII.25) - (П. XII.27) в формулу (1.14) и учитывая, что
взятие мнимой части от Gr(R, f; со) Эквивалентно замене
со *foo
I ^ ds (...) -*¦ -j ^ ds{...) в интегральном представлении
О - оо
(П.ХП.25), получаем для е2(со)
. СО ОО 00
82 = (2л)*Ич1 (S dR S dT \ da' S ds S ds' S dk 5 dk' X
' -ОО "оо -oo
X [tip (о/ - co) - nF (со')] exp {7s [Йо/ - Ec (k) - U (R)] +
+ /kr + фс (R, r, k, s) -}- is' [Йсо' - Йсо - Ev (k') -- U (R)] -
________________________________ - xk'r + Фо (R, - r, k', /)}>. (2.1)
*) Так обстоит дело, например, в случае полей электростатической природы
(мы употребляем термин "электростатическая" в узком смысле, исключая
взаимодействие типа потенциала деформации).
290 гл. V. МЁЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
Многократный интеграл в правой части (2.1) вычисляется следующим образом.
а) Возьмем интеграл по о/, принимая во внимание условия
(1.7), в которых и относятся, соответственно, к валентной зоне и к зоне
проводимости. В Приложении XIII доказывается, что в таких условиях
оо
^ <7со' [пР (о/ - со) - Пр (со')] ехр [i (s + s') Йсо'] "= - 6 (s -f-
s'). (2.2)
•" oo
Интеграл no s' в формуле (2.1) теперь легко берется. При этом сама
потенциальная энергия (7(R) вообще выпадает. В согласии с рассуждениями §
1, остаются лишь квантовые поправки, связанные с производными H(R) по
координатам.
б) Выполним усреднение по случайному полю, т. е. вычислим выражение
А = (ехр [фс (R, г, k, s) + cp0(R. - г, к', - s)]). (2.3)
Удобно привести экспоненту к виду линейного дифференциального оператора,
действующего на (7(R). Это легко достигается путем введения
вспомогательного интегрирования, линеаризующего квадратичный по градиенту
случайного поля член в экспоненте в (2.3):
ехР { - * -^г (VrC7)2 } =
= ^77 Ц ехр { - с?2 - (q, VRt/) ^Р (- i f sign s) }.
(2.4)
Мы объединили здесь слагаемые (VRf/)2 из <рс и cp" в выражении
(2.3) и ввели приведенную эффективную массу
- == - + - ¦ (2.5)
mr тс mv
Теперь легко выполнить усреднение с помощью формул
(II. 7.8), (II. 7.20) и (П.ХП.32). Оставляя, в духе принятого
приближения, лишь члены порядка до Й2 включительно, мы получаем
л = лм=[1 + г4?(!]"и (2.6)
Здесь 2г|з2/е2 - средний квадрат напряженности случайного поля (П.
XII.1). Заметим, что из формулы (2.6) выпал аргумент R, чего и следовало
ожидать в макроскопически однородной системе.
§ 2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ГЛАДКОМ ГАУССОВОМ ПОЛЕ
291
в) Подставим (2.3) в (2.1) и вычислим интегралы по R и по г. Первый из
них дает просто множитель Q и сокращается с таким же множителем в
знаменателе (2.1).
Второй дает 6-функцию 6(к - к'), после чего сразу вычисляется интеграл по
к'. При этом используется соотношение
Ес (к) - Ev (к) = Eg + H2k2/2mr. (2.7)
Таким образом, находим окончательно
оо
= Г ds\dk + (28)
(2зх)2 со2 J J (1 + /s3ft2i|32/36mr)3/2
- ОО
Заметим, что комплексную междузонную диэлектрическую проницаемость можно
найти из формулы (2.8), заменяя интеграл
оо оо
^ ds(...) на 2i ^ ds{...). Действительно, легко убедиться, что
- оо О
определенная таким образом функция аналитична в верхней полуплоскости
комплексной переменной со. Но тогда на действительной оси со
действительная и мнимая части ее связаны соотношениями Крамерса -
Кронига, чем и доказывается сделанное выше утверждение.
Рассмотрим асимптотическую область
S • (Eg - /ко) " 1, (2.9)
где
S = (Й2ф2/36тг)-1/3. (2.10)
Тогда равенство (2.8) дает экспоненциальный хвост коэффициента
поглощения, простирающийся в запрещенную зону (В. Л. Бонч-Бруевич, 1970):
е2 (со) = А ехр [S • (Йш - Eg)]. (2.11)
Величина А в формуле (2.11) содержит постоянные и более слабые частотные
зависимости, чем экспонента.
Видим, что теория действительно объясняет правило Урбаха (1.3.1). Тот же
результат получается и в негауссовом гладком поле [35]. Таким образом,
результат (2.11) не связан с какими-
либо частными модельными представлениями. Как и следовало
ожидать (§ 1), эффект оказывается_ существенно квантовым: согласно (2.10)
характерная энергия Е = S~l обращается в нуль при ft-"-0. Хвост
коэффициента поглощения при этом исчезает.
Отметим, что выражение (2.11), вообще говоря, отнюдь не совпадает по виду
с плотностью состояний электронов или дырок, равно как и с
комбинированной плотностью состояний. Так,
292
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
в гладком гауссовом случайном поле хвост плотности электронных состояний
при | Е - Ес | " гр1/2 описывается формулой (III. 7.14) (в которой
энергия Е отсчитывается от Ес). В силу условия (1.17) правая часть (III.
