Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений сводится к двум.
Для вывода системы кинетических уравнений воспользуемся
тем же методом, что и в § 3. Запишем уравнения движения для
функций fWg и /№:
?lm? = \Im Y, Впт ({а той ПО (l ~ hm, -о) Р?')-'(^тоОт.-о ап,-о Р?')),
(13.16а)
df^) g _
= ~К I*11 /г1 В пт {ftmoQmt-o 8п,-о РУ}* (13.166)
nqio
dt П fa
§ 13*. УЧЕТ ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 261
Для функций {р. той па (1 - Ат, -а) р!/') имеем
~dt ^ Ето Епо "Ь (- l/ h(Hq | ('flmaO-na (1 Пт, _0) -
V (flmoCLnofi-n.-o (1 Am,-o) P" } =
= Eh ((CLmaCLna (1 ^m,-o) dto'dka'^q'^q' -
klq'j'o'
- (flUi'Clko'dmodna (1 Hm, -a) P?''P</^})- (13.17)
Аналогичное уравнение можно записать и для функции
(/1щаОт,-о @п,-о Рq )•
В левую часть (13.17) входит функция {dmodnoAn, -оХ X (1 - Ат, -о) Р^),
уравнение для которой имеет вид
(ih-^f+Emo-Еп0+(- 1)у h(S>q + й) (йтайпаПп, -а (1- Ат, -а) Р^) =
= 2 Eh (J\dia'dko'dmodnoAn, - о (1 /1т, - о) Рq' Р<; } -
klq'j'o'
{driwQnotln, - о (1 Пщ, -о) dio'dko'$q$q' })• (13.18)
В правых частях (13.17) и (13.18) выполним расцепление, обобщающее
(3.11). Ймейно, будем расцеплять Только электронные операторы,
соответствующие разным центрам, например:
(fimoClne (1 Пт, -о) dnadmo) ** {Пта (1 Ат, -о)) (1 Апо)
- ЭД, О-ЯЙ-/?>)•
Это расцепление не связано ни с какими предположениями о величине
корреляционной энергии V. Действительно, выражение (13.10) описывает
только взаимодействие между электронами, находящими&я на одном и том же
центре. Расцепление электронных и фононных операторов справедливо при
условии малости параметра g (§ 3); многофононное обобщение не отличается
от обсуждавшегося в § 7. После расцепления уравнения (13.17) и (13.18)
принимают вид
-f- Ета Епа -(- (-1У h(Hq | {flmodtio (1 Ат, -а)
V (flma&noAn, -а (1 Пт, -о) fiq } ==
= Emnfmo (1 - /!?-о ~ fnd>) ^ ~ Ет1 (/$ + /<?>) (13.19)
И
{ ih jf+Emo-Eno+i- O' h(r)q+V} (aLdnoAn, -a (1 ~Am, -a) $>) =
= BmUmofn!-o$] - EmUnYmVt^ (13.20)
Здесь функции ф(л определяются равенствами (3.13).
262 ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Уравнения (13.16а), (13.166), (13.19), (13.20) вместе с аналогичным
образом расцепленными уравнениями для
{fimodm, -оап, -о$Т) образуют замкнутую систему. Уравнения
(13.19), (13.20) можно проинтегрировать по времени. Подставляя результат
интегрирования уравнения (13.19) в (13.16а) и используя марковское
приближение (§ 3), мы получаем
^та V1 (TwtOO)r(s) Не) ту7(00)л(е)Не) . .
'mnlmoln W nml по I т ~Г
n
I Tj7(01)r(s) r(s) TwflO) е(^)р(е) tw(10) p(<2) p(e) ,
T" " mnlmoln, -o W nml n Im w mnl m In ~r
J_ uw(n)fW)f(s) I ii7(4)f(^)i(s)l /iQ oi\
"Г w nmfn, -ofmo - w mnfm fn, -о "Г w timfn fmo)' (io.z IJ
Аналогично находим
' m ___ (ту7(10)?(фс:{е) Tt7(01)f(5)?(5) i
- /, X" tntilm In - W nml no I m, -o i
+ w№№№-o - -a}. (13.22)
Здесь вероятности однофононных переходов (a, P = 0, 1)
даются выражениями
W№} = -§^]T | BL P ф^б {Em-En+(a-p) V + (-1)7' h(aq}. (13.23)
q!
Обозначения здесь выбраны так, что W(mn отвечает вероятности перехода из
состояния {та} в состояние {па}, причем состояние {т,-о) заполнено (а=1),
а состояние {п,-о) пусто (р = 0). Иначе говоря, речь идет о переходе с
двукратно заполненного центра на пустой, причем, согласно (13.23),
изменение энергии электронной системы есть Еп - Ет-V. Заметим, что в
рамках принятой модели внутрицентровые переходы невозможны, так как они
связаны с переворотом спина, а спиновыми взаимодействиями мы
пренебрегаем. Таким образом, Wmm =0.
Последние четыре слагаемых в фигурных скобках в сумме
(13.21) отвечают уменьшению вероятности однократного заполнения центра
за счет прихода электрона и образования пары и ее увеличению за счет
распада пар. В равновесии имеет место принцип детального равновесия -
каждый из членов сумм в правых частях уравнений (13.21), (13.22)
обращается в нуль функциями
п{та = ZmX ехр j - Ета ~ F j ,
(d) -1 ( Ета + Ет,-а~ 2F+V} () _i (13.24)
Пт = Zm ехр | - --------------у-----------|, Пт = Z,n ,
§ 13*. УЧЕТ ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 263
где
Zm= 1 + ехр | -
Ета " F
} + ехр {
Ет• ~j ~ F } +
• 2F + V j
f + Em- -a '
(13.25)
Равновесные функции заполнения центров tima, Пт у и tim изображены на
рис. 16 для случаев V > 0 и V < 0 (соответствующие функции заполнения
центров пт обсуждались в § II. 19,
!
" ш
11 те
I
г
гуШ
11 pie
t I I
I
F-V
I
F
F+%/2
r)@i
I'm
ЕЩ/2 em
-b
"m t
E+F0/2 ?m
6)
Рис. 16. Равновесные функции n^a, ri? и n^ при наличии отталкивания (a)
(e)
mo' m
и притяжения (б) между электронами, попадающими на один и тот же
локальный центр.
см. {inc. 9, 11). В случае притяжения почти все электроны спарены и все
процессы, описываемые правыми частями уравнений
(13.21), (13.22), маловероятны из-за малого числа неспаренных электронов
fma - все эти процессы 'идут через состояния, содержащие неспаренные
электроны. Вклады от прямых перескоков пар, будучи пропорциональными g4,
не содержатся в этих уравнениях. Такие процессы, связанные с виртуальным
распадом1 пар,; смогут тем не менее сказаться конкурентоспособными
