Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
611
законы сохранения энергии и квазиимпульса при междузонных переходах с поглощением или испусканием фонона будут иметь вид
?„(р) + Й<й + Й<йф(ч)=?с(р'), р + Йя = р' (9.2а)
и
Ev (р) + ЙО — Й<йф (q) =ЕС (р'), р-йя = р'. (9.26)
Рассматриваемые квантовые переходы происходят в результате взаимодействия электронов как с фотонами, так и с фононами. Первое из этих взаимодействий описывается гамильтонианом (4.5), второе — формулой (XIV.3.32). Расчет коэффициента поглощения с учетом обоих этих взаимодействий требует довольно длинных вычислений, которые можно найти, например, в обзоре [6]. Общую структуру выражения для у можно, однако, установить без всяких вычислений.
Во-первых, ясно, что мы получим здесь сумму двух членов, Y+ и y_, соответствующих поглощению фотона с испусканием и поглощением фонона:
У (®) = V, H + Y- N- (9.3)
Во-вторых, в силу законов сохранения (9.2а) и (9.26) и соображений, связанных с принципом Паули, для у+ и у_ должны получиться выражения типа (7.2). Нужно лишь изменить в (7.2) аргумент 8-функции, включив в него энергию фонона с квазиимпульсом
— (Р — Р )> ввести под знак суммы дополнительный множитель, описывающий вероятность испускания или поглощения фонона, и просуммировать по всем ветвям фононного спектра.
Как и при прямых междузонных переходах здесь следует различать переходы разрешенные и запрещенные — в соответствии с тем, не равно или равно нулю первое слагаемое в правой части формулы (7.3). Рассмотрим сначала разрешенные переходы. Опуская несущественные постоянные множители, мы получим
Y± И ~ 2 С*1 {п (<йф, Л 1- + [п (<»ф,,) -И] /+}• (9.4)
S
Здесь Cs — константы, описывающие энергию взаимодействия электронов с фононами s-й ветви и указанные в таблице 14.2; соф> s есть частота фонона s-й ветви, квазиволновой вектор которого равен
[/гсйф s 1 1
ехр—^------1 — равновесное число фононов
данного типа, а через 1± обозначены интегралы
/± = $ б (Ес (р') — Ev (р') — йсо ± Й<йф, s) dp dp'. (9.5)
Правую часть (9.5) легко представить в виде интеграла от произведения плотностей состояний в валентной зоне и в зоне проводимости. Действительно, введем промежуточное интегрирование по
6J2 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ (ГЛ. XVIII
вспомогательной энергетической переменной Е, пользуясь тождеством
$ 6 (Ес (р') - Ev (р) — йсо ±: /гсОф, s) dp dp' =
-f СО
= $ dE\6(Ec(p')-E)dp'\b(E-Ev(p)-fi<»±fi<»*,s)dp. (9.6)
— СО
Принимая теперь во внимание равенство (V.7.8 б), находим
со
/+~ ^ dE Nc (Е) Nv (? — Йсо ± Йсоф, 4). (9.7)
— СО
Вычислим интегралы (9.7) для параболических (не обязательно изотропных) законов дисперсии (по-прежнему совмещая начало отсчета энергии с дном зоны проводимости). В этом случае (§ V.2)
(?•/., Е^-0,
"•«'Н 0. ?<0
И
Nv (? — Йсо ± Йсоф, s) ~
( (Йсо —?г —? грйсОф,,)1/*, Йсо — Eg — ? гр Йсоф> * 0,
0, h(o-Eg-E± Йсоф, s < 0.
Подставляя эти выражения в правую часть (9.7), получаем п<л-Еётпч>ф1$
/±~ ^ [?(Й<о-?*-?:*= Й<0ф, ,)]*'• d? =
о
Таким образом, для коэффициента поглощения при непрямых разрешенных переходах находим
Y ~ {п ~ Её-\-Ь,(аф_ ^)2 +
4-[п(сОф^)+1](Йсо-?г-Йсоф^)2}. (9.9)
Как и следовало ожидать, в отличие от прямых переходов, правая часть (9.9) зависит от температуры.
Формула (9.9) упрощается, если энергия Йсоф_ * мала по сравнению с Йсо — Её *). Тогда
у (йсо — Eg)2 'У Cs1 cth • (9.9')
*) Это условие может и не составлять большого ограничения, так как предельная энергия акустического фонона обычно не превышает нескольких сотых долей электронвольта.
ЭЛЕКТРООПТИКА
613
При правильно выбранных значениях Cs выражение (9.9) хорошо описывает температурную и частотную зависимость коэффициента поглощения в германии и кремнии (вблизи порога). Частотная зависимость вида (9.9') наблюдалась в фосфиде галлия.
При наложении на образец постоянного й однородного электрического поля энергетический спектр носителей заряда претерпевает серьёзные изменения (§ IV.6). Соответственно изменяются и спектры поглощения и испускания света полупроводником. Самое характерное их отличие от того, что наблюдается в отсутствие поля, ясно из рис. 4.8: при наложении постоянного и однородного электрического поля становятся возможными междузонные оптические переходы при частоте света, меньшей красной границы *). Это—переходы, невертикальные в плоскости (z, Е). Они связаны с туннельным просачиванием электронов и дырок через запрещенную зону. Из рис. 4.8 видно, что энергия поглощаемого фотона /ш тем меньше, чем на более далекое расстояние туннелирует электрон. Отсюда следует, что вероятность такого перехода, будучи отличной от нуля при любой частоте со, должна все же быстро убывать с увеличением разности Eg— На. Расчет этой вероятности связан с довольно сложными вычислениями. Мы приведем лишь результат для простейшего случая, когда переходы — разрешенные и происходят без участия фононов, причем главные оси тензора эффективной массы — одни и те же для электронов и для дырок. Напряженность электрического поля будем считать направленной вдоль одной из этих осей (оси Z). Введем характерную энергию
