Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(7.13)
Обратимся теперь к прямым запрещенным переходам. При этом в правой части (7.3) надо сохранить и второе слагаемое, в результате чего матричный элемент pcv (р) оказывается обычно отличным от нуля. Полагая вновь р0 = 0 и пользуясь формулами (7.3), (7.2) (для неполяризованного света) и (7.9), мы получаем (по-прежнему в отсутствие вырождения)
а, Р, V
^ I P$Py6(l^- + Eg-n(i>)dP- (7Л4)
Злст*<оЛ3 Sj72 J V 2тг
Как и в случае (7.6), интеграл легко вычисляется в полярных координатах. При со ^ (?>т
-V 8е2 j сар j2 т5/г
У= 2 q .M~V,— [2(*©-^)8]v'- (7-15)
^ 9ст-п3е.1га> а, р " 1
Этот результат (с точностью до численного множителя) остается в силе и при ро ф 0, и при любой анизотропии тензоров обратных эффективных масс, лишь бы законы дисперсии электронов и дырок
604
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
оставались параболическими. Таким образом, частотная зависимость коэффициента поглощения при прямых запрещенных переходах имеет вид
Y~l(fi>-fi>m)V,. (7.16)
Как уже отмечалось, формулы (7.13) и (7.16) справедливы при не слишком больших значениях разности © — а>т: энергии электронов и дырок должны быть такими, чтобы законы дисперсии оставались параболическими и чтобы имело смысл разложение (7.3). Количественно эти условия можно сформулировать только применительно к тому или иному конкретному материалу. Следует также иметь в виду, что формулы (7.12) — (7.16) оказываются несправедливыми не только при очень больших частотах, но и при частотах, очень близких к пороговой. Дело в том, что вывод этих формул основан на зонной теории, в рамках которой носители заряда .рассматриваются как невзаимодействующие частицы. Фактически, однако, такое взаимодействие имеет место: электрон и дырка испытывают взаимное кулоновское притяжение. Как мы видели в§ XVI 1.7, характерная энергия последнего — порядка боровской энергии
в кристалле Следует ожидать поэтому, что принятый выше
упрощенный подход будет оправдан, лишь если
Ь*-Ее>-^. (7.17)
Тщательное теоретическое исследование [6] действительно показывает, что в условиях (7.17) формулы (7.12)—(7.16) остаются в силе, в то время как при меньших частотах частотная зависимость коэффициента поглощения оказывается иной.
Во многих кристаллах боровская энергия, фигурирующая в правой части (7.17), сравнительно невелика. Так, в арсениде галлия и фосфиде индия она составляет около 0,004 эВ, в антимониде галлия — около 0,003 эВ. По этой причине область применимости формул (7.12)—(7.16) оказывается довольно широкой. Исключение составляют лишь узкозонные полупроводники, в которых отклонения законов дисперсии от параболических становятся заметными
уже при довольно малых энергиях носителей заряда.
§ 8. Критические точки
Обратимся к изучению коэффициента поглощения при прямых разрешенных переходах в области частот, заметно превышающих пороговую. Здесь надо прежде всего выяснить, какие точки в зоне Бриллюэна представляют наибольший интерес. Для этой цели вернемся вновь к формуле (7.6). Фигурирующий в ней тройной
§8] КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 605
интеграл удобно вычислять, интегрируя сначала по поверхности Ес (р) — Ev (р) = Е = const, (8.1)
а затем по всем таким поверхностям, т. е. по всем значениям Е (сравните с аналогичной выкладкой для плотности состояний в § V.7). Обозначив через dS элемент площади на поверхности (8.1), получим, как и в § V.7,
2 С dS
ркомб И = -(2H*js- J (8-2>
Вспоминая формулу (IV. 1.3), видим, что
I Vp?'| = |ve(p)-vI1(p)), (8.3)
где vc (р) и v„ (р) — скорости электрона с квазиимпульсом р в зонах проводимости и валентной.
Интеграл в (8.2) представляет собой гладкую функцию частоты при ЕСех значениях со, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль:
|Vp?|?=no) = 0. (8.4)
Если выполнено равенство (8.4), то интеграл должен иметь особенность: будет расходиться либо сама комбинированная плотность состояний, либо какие-то ее производные по со (как мы увидим, в трехмерном случае сам интеграл в (8.2) остается конечным).
Согласно (8.3) так обстоит дело, если междузонный переход проис-
ходит между состояниями с одинаковыми скоростями электронов (в частности, возможен и случай vc (р) = v„ (р) = 0). Точки в зоне Бриллюэна, для которых
К(Р) -vu(P) 1 = 0, (8.5)
называются критическими. Соответствующие сингулярности плотности состояний и коэффициента поглощения называются особенностями Ван-Хова.
Можно указать два типа критических точек:
