Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рсх (Ро) = $ Чрос (— «р„и dr (7.4)
может быть отличным от нуля или обращаться в нуль.
Пусть, например, функции uPoV и и?оС характеризуются определенной четностью, т. е. либо меняют знак (нечетные функции), либо остаются неизменными (четные функции) при изменении знаков пространственных координат.
Рассмотрим сначала случай, когда их четность одна и та же, например, обе четные. Поскольку производная от четной функции нечетна, все подынтегральное выражение в (7.4) меняет знак при изменении знаков пространственных координат — переменных интегрирования. То же, очевидно, относится и к самому интегралу. Но при замене переменных интегрирования интеграл измениться не может. Следовательно, он равен нулю. Так, например, обстоит дело при-переходах в точке р„ = 0 между зонами легких и тяжелых дырок в соединениях типа AIUBV.
С другой стороны, если функции иРо1) и UpoC обладают разной четностью, то подынтегральное выражение в (7.4) не меняется при, изменении знака переменных интегрирования и интеграл может быть отличен от нуля. Это имеет место, например, при переходах между зоной легких дырок и зоной проводимости в арсениде галлия. При более сложных свойствах симметрии правила отбора устанавливаются с помощью теории групп.
*) Фактически в дальнейшем значение рс будет отвечать либо границе зоны проводимости (или валентной), либо какой-либо другой критической точке (§ 8).
602
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
Если интеграл (7.4) отличен от нуля, то говорят о прямых разрешенных переходах, в противном случае — о прямых запрещен-, ных.
Рассмотрим сначала прямые разрешенные переходы в невырожденном полупроводнике. При этом в правой части (7.3) можно оставить только первое слагаемое, т. е. заменить рсг, (р) на рс„ (р0) (впредь мы будем для краткости опускать аргумент р0). Тогда (для неполяризованного света) формула (7.2) принимает вид
V = \ 6 (Ес (Р) - Z* (Р) - м dp- (7-5)
ЗлсгПц(?>к3г*2 J
Введем обозначение
Ркоиб И = -щщт J в (Ес (Р) - E v (р) - Гт) dp. (7.6)
Получим
2 (2л)2 е2! pcv |а , ч /7 т\
У = комб N. (7.7)
ЗсигЦсое^
Величина ркомй (со) называется комбинированной плотностью состояний. Смысл этого названия становится ясным, если сравнить правую часть (7.6) с формулами для .плотностей состояний в зонах проводимости и валентной (V.7.86). Разница состоит лишь в том, что, в отличие от последних формул, правая часть (7.6) определяется не видом каждого из законов дисперсии Ес (р) и Ev (р) rto отдельности, а разностью Ес (р) — Ev (р).
Как видно из формулы (7.6), комбинированная плотность состояний отлична от нуля лишь при
(?>^и>т — Eg/h. (7.8)
Смысл этого неравенства очевиден: в рассматриваемых условиях междузонные переходы могут быть вызваны только фотонами достаточно большой энергии.
Вычислим комбинированную плотность состояний для частот, близких к пороговому значению сот. В качестве р0 здесь удобно выбрать точку в зоне Бриллюэна, отвечающую дну зоны проводимости (по условию ей же соответствует и потолок валентной зоны). Предположим сначала, что р0 = 0, и аппроксимируем законы дисперсии простыми параболическими выражениями, совмещая начало отсчета энергии с дном зоны проводимости:
ЕЛ Р)=^. ?„<Р>— Е'-? (7.9)
Подставим выражения (7.9) в правую часть (7.6) и будем вычислять фигурирующий там интеграл в сферических координатах.
S 7] КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИ ПРЯМЫХ ПЕРЕХОДАХ 603
Интегрируя по полярным углам, получим
СО
РкомбН = -^Г J Р2б(-^- + ^-Й0)^р, (7.10)
о
где
тптп
т, = —п-?- (7.11)
тп+тр ' '
есть приведенная эффективная масса электрона и дырки.
Интеграл, фигурирующий в формуле (7.10), легко вычислить, пользуясь правилами Приложения IV. При а ^ ат
/,л .... [2т? п ,оч
Ркомб (®) 2л-h:i ' ^
Результат (7.12) легко обобщить и на случай, когда экстремумы зон лежат в точке р0 ф 0 и законы дисперсии электронов и Дырок анизотропные (но параболические). При этом частотная зависимость ркомб (со) остается такой же, как и в (7.12); надо лишь заменить там множитель гп/г на (тгхтгутгг)'/г, где mrr'x, т;'у,. тг\ суть главные значения тензора тг] ар == т~с\ар + mv\ «р.
Таким образом, при параболических законах дисперсии частотная зависимость коэффициента поглощения при прямых разрешенных переходах имеет вид
