Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
W(X, X') = W{X', X). (4.11)
Таким образом, вероятности элементарного акта поглощения фотона и обратного ему вынужденного излучения одинаковы»
590
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
Из формулы {4.7) также видно, что вероятность вынужденного излучения, так же как и поглощения, пропорциональна g,a„, т. е., согласно формуле (3.8), пропорциональна концентрации фотонов в образце.
Для спонтанного излучения, аналогично формуле (4.10), можно написать
Qcn = T 2 <W(V)(l-/(b))ft<0. (4.12)
у, к
Здесь ау% ¦— вероятность элементарного акта спонтанного перехода, которая, в отличие от W (к', к), не зависит от концентрации уже имеющихся фотонов.
¦ Рассмотрим, как влияет вынужденное излучение на измеряемый коэффициент поглощения света. Если бы имело место только излучение света, то, продолжая пользоваться формулой (3.7), мы должны были бы считать < 0 и, соответственно, V < 0. Фактически наблюдаемый на опыте коэффициент поглощения определяется разностью поглощаемого и испускаемого света. С учетом (1.2Г) мы лолучаем
Y = Г, У I & I2 ^ W ~ f W 6 ~ ^ - П<4'13>
К/лЦшсв/»
Если равновесие в электронном газе нарушается только за счет поглощения света, то функции f (к) и / (V) можно заменить равновесными функциями Ферми
/о (*.)=-------------• /о(^)=--------------• (4.14)
ехр \т +1 ехр 'kT +1
Разность U (^)— /о (к') при этом положительна, так как Еу = Ех + + Йсо > Ех- Следовательно, у > 0, т. е. имеет место результирующее поглощение света.
Найдем теперь величину коэффициента спонтанного излучения ауу Для этого рассмотрим образец в условиях термодинамического равновесия. Так как в этом случае энергия электромагнитного поля не изменяется, то
<2погл-<2вын-<2с„ = 0. (4.15)
Более того, согласно принципу детального равновесия это равенство должно выполняться по отдельности для каждой пары состояний к, к'. Рассмотрим две группы состояний с энергиями Еу и, соответственно, Ех, заключенные в узком интервале энергий ДЕ. При этом Ех— Ех = Йсо, АЕ = А (йсо). Учтем, далее, что для равновесных функций Ферми (4.14)
fo (к) (1 - /о (к')) = /„ (к') (1 - /0 (к)) ехр (Йсо/кТ). (4.16)
ПРЯМЫЕ И НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
591
Тогда, подставляя в условие (4.15) выражения (4.1), (4.10), (4.12) и учитывая (4.11), находим
ам = W (Я, Я') [ехр (fla/kT) - 1]- (4.17)
Воспользуемся для W (Я, Я') формулой (4.7), выражая в ней через концентрацию фотонов р (йсо) по формуле (3.8). Учитывая еще, что в равновесии р0 (йсо) дается формулой Планка
ш2е1/2 J
Ро (Лю) = n4l(,:s ¦ ехр (Лы/kT) — Г (4 •1
(в которой мы заменили показатель преломления п на е1/*), получаем
= ' mgc4 1 (5. JuOI28(?v-^-MA(M- (4.19)
Не завися от вида функций распределения, эта формула остается в силе и в любых неравновесных условиях. Из формулы (4.19) видно, что а\'% не зависит от концентрации фотонов, имеющихся в образце, чего и следовало ожидать для спонтанных переходов.
Полученные результаты позволяют также найти отношение энергий, излучаемых при спонтанных и вынужденных переходах. Из формул (4.10) и (4.12) следует, что при данном переходе
Qcn а'1-’к
Свыи -W(X,k'V Пользуясь теперь формулами (4.17) и (4.18), находим
Огп (02еУг 1
= (4.20)
(?в„ш пФЛ р(йсо) ' >
Таким образом, относительная роль обоих процессов зависит от концентрации фотонов данной частоты, т. е. от интенсивности активного излучения и от ширины его спектра. С помощью количественных оценок можно убедиться, что в обычных лабораторных источниках сплошного спектра (например, лампах накаливания) спонтанное излучение гораздо важнее вынужденного. Напротив, в оптических квантовых генераторах (лазерах, § 6), мощность которых огромна, а спектральный интервал очень узок, р (Йсо) очень велика и вынужденное излучение играет основную роль.
§ 5. Прямые и непрямые переходы
Рассмотрим поглощение света в идеальной решетке, связанное с переходами между валентной зоной и зоной проводимости. Для этой цели можно воспользоваться формулой (4.13), взяв в ней слагаемые с / = с и V = v. При этом матричный элемент, фигурирую-
592
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. ХУШ
щий в (4.13), содержит функции Блоха (II 1.2.15'). Таким образом,
I
с ! / \ V <Р — p'H-ftk, г)
Jw.'== J (ut’-Vux + ^put’Uxje dr. (5.1)
Для удобства записи мы ввели здесь волновой вектор фотона к —
= Я 0, 0}.
