Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Q„o» = y- 2 W&> *')/(*)[!-/(*')]Лю. (4.1)
X, К’
Здесь f (к) есть функция распределения электронов.
В первом неисчезающем приближении вероятность W (А, к') дается выражениями (XIV.2.15), (XIV.2.16), (XIV.2.10). При этом функции %, г|^' суть обычные функции Блоха, а в качестве Н' надо взять оператор энергии взаимодействия электрона с электромагнитным полем- Этот оператор легко найти, записав уравнение Шредингера в присутствии электромагнитного поля. Мы имеем
^ V + ^сЯ)2 + ®)?. (4.2)
Здесь сЯ и ф — скалярный и векторный потенциалы, связанные
с напряженностью электрического поля ? и магнитной индукцией 53 соотношениями
S = _Vq>-!^, 53 = rotcfl. (4.3)
Как известно из электродинамики, потенциалы сЯ и ф можно выбирать любым способом, лишь бы удовлетворялись равенства (4.3). В частности, для поперечной электромагнитной волны скалярный потенциал можно положить равным нулю, подчинив векторный условию
divcfl = 0. (4.4)
588
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVHt
При этом слагаемое—ecp'F в (4.2) описывает только взаимодейстрие заряженной частицы со статическими полями (в том числе с периодическим полем идеальной решетки), а само уравнение можно переписать в виде
Последние три слагаемых в правой части (4.2') описывают искомую энергию взаимодействия заряженной частицы с электромагнитным полем. При исследовании структуры зон оптическими методами чаще всего используются сравнительно слабые сигналы: амплитуда напряженности электрического поля волны очень мала по сравнению с напряженностью внутрикристаллического поля. Тогда слагаемым, квадратичным по вектор-потенциалу, можно пренебречь, и оператор энергии взаимодействия электрона с электромагнитным полем принимает вид
Подчеркнем, что здесь фигурирует масса свободного электрона. Ни метод эффективной массы, ни какие-либо предположения о виде законов дисперсии носителей заряда -никак не использовались при выводе формулы (4.5). Второе слагаемое в (4.5) обусловливает возможность поглощения электромагнитных волн с изменением ориентации спина электрона. Однако вероятность таких электронных переходов зачастую невелика по сравнению с вероятностью переходов, при которых спин сохраняется. В дальнейшем мы будем рассматривать только переходы с сохранением ориентации спина; при этом играет роль только первое слагаемое в (4.5), а второе можно опустить.
Рассматривая монохроматическую волну, можем положить, с учетом (4.3),
Соответственно
Амплитуда gm рассматривается здесь как классическая величина, а не как оператор.
Таким образом, в первом неисчезающем приближении вероятность перехода Wu/, фигурирующая в формуле (4.1), дается выражением
(4.5)
сЯ=—^- 1ЬтеШх-1Ш.
(4.6)
2ле2й
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ
589
Здесь
Ju- = ^ ^*'eikx • Vt|>„ dr. (4.8)
Подставляя выражение (4.7) в правую часть (4.1) и сравнивая результат с формулой (3.7), находим вещественную часть электропроводности на частоте <о:
= \(bhv)\*HE,.-Ek-n<>>)f(E,)[l-f(Ey)]. (4.9)
X, Kf
Заметим, что выражение (4.9). имеет меньшую область применимости, нежели (4.1): оно получено в пренебрежении взаимодействием носителя заряда с любыми неидеальностями решетки. В противном случае в качестве Н' следовало бы взять сумму выражения (4.5') и операторов, описывающих названное взаимодействие (гл. XIV).
Одна черта формулы (4.9) имеет, однако, общее значение. Именно, в правой части (4.9) стоит сумма выражений, относящихся к переходам между различными энергетическими зонами. Разность энергий Е (X') — Е (X) определяется энергией фотона /ш. Последняя чаще всего такова, что пара зон /' и / выделяется однозначно: играют роль только переходы между зонами с данными фиксированными значениями I и Это позволяет ограничиться исследованием лишь одного члена суммы.
Наряду с процессами поглощения фотонов (электронными переходами из более низкого энергетического состояния X в более высокое X'), происходят и обратные переходы X' -> X, сопровождающиеся излучением фотонов. При этом следует различать два типа таких процессов: самопроизвольные, или спонтанные, переходы и вынужденные переходы, возникающие под воздействием уже имеющегося в образце электромагнитного поля. Необходимость существования вынужденных переходов была впервые указана Эйнштейном в 1917 г. в связи с анализом законов теплового излучения. Энергия, излучаемая в результате вынужденных переходов (в единицу времени и в единице объема), выражается формулой
<?вы„ = У 2 w (*• *') / (*') о - / W) П(а> <4-1°)
к
которая получается из (4.1), если поменять местами индексы X и X'. Учитывая выражение (4.7) для № (X, X') и формулу (4.8), можно убедиться, что
