Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где сг1( сг2, е2 — вещественные величины, зависящие от частоты падающей волны со. Магнитную проницаемость [д. будем считать вещественной константой, не зависящей от со; в немагнитных полупроводниках значение [х обычно очень близко к единице.
Возьмем ротор от обеих частей уравнения (1.1). Как известно из векторного анализа,
rot rot S = — V2S -j- grad div 6.
Пользуясь этим соотношением и равенствами (1.2), (1.3) и (1.5), мы получаем
*¦•-**•(*««+**)• (>¦•>
Такому же уравнению удовлетворяет и вектор JC.
В соответствии с постановкой задачи положим (при х ^ 0)
? = gmge-‘-“™, (1.7)
где $т — амплитуда волны, прошедшей в образец, при х = 0; | — единичный вектор в направлении S, k — комплексное волновое число. Из физических соображений ясно, что в поглощающей среде мнимая часть его должна быть положительна: она описывает затухание волны по мере углубления ее в среду. Подставляя (1.7) в (1.6), падучим
*3g = p^a + .M^jS. {1>8)
Это уравнение, совместно с условием ?т Ф 0, дает связь между k и о), т. е. закон дисперсии электромагнитной волны в рассматриваемой среде.
578 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
Удобно ввести комплексную проводимость о', полагая
о' = о[-\-1о'2 = о — ^ е0; (1-9)
при этом Положим
г I WFg Г 0)?i
Ох — <7i + -jr-» <Та — СГ2 А . (1-9)
4л' и'г~и2 4я '
ft = -J-(n +ix), (1.10)
с
где пин — безразмерные вещественные положительные величины. Это и есть соответственно показатели преломления и поглощения. Смысл названий становится ясным при подстановке выражения (1.10) в (1.7). Мы получаем при этом
? = §т|ехр[— ш -у их]. (1-7')
При к = 0, т. е. в отсутствие поглощения, выражение (1.7') описывало бы плоскую волну, распространяющуюся с фазовой скоростью с!п и постоянной амплитудой. Если же и Ф 0, то амплитуда волны экспоненциально убывает по мере проникновения ее в образец.
Вместо показателя поглощения часто вводят линейный коэффициент поглощения у, определяемый равенством
Т = 2 и. (1.11)
Смысл величины у легко понять, вспоминая, что плотность энергии электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды последней. Согласно (1.7') это означает, что плотность энергии (и тем самым число фотонов в единице объема) убывает с ростом
координаты х, как ехр ^— 2-^- кх^ — ехр (— ух). Таким образом, у'1
есть длина, на которой плотность энергии волны в результате поглощения убывает в е раз.
Обращая равенство (1.11), получим
*=?. (1 и-)
где К = 2л — есть длина световой волны в вакууме.
Подставим выражение (1.10) в равенство (1.8) и сократим последнее на gm. Получим
n2-K2 + 2inx = ^^-. (1.12)
§ 1], ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ СВЕТА 579
Отделяя здесь вещественную часть от мнимой, находим два алгебраических уравнения для определения п и и. Корни их имеют вид
x = f^(CT' + |V2 + CT;2)J\ (1.13а)
„ = [2щ.(_^ + у о? + о?Ц'\ (1.136)
Формулы (1.13а, б) решают поставленную задачу. Иногда их записывают по-другому, вводя вместо комплексной проводимости сг' комплексную диэлектрическую проницаемость
f 4jtt f . Am t i • r /ii/i\
e =—.o =e0-i——<7 = e1 + tea. (1.14)
Здесь e[ и — вещественные величины, Очевидно,
we;
1 4л ’ 2 4л
и, следовательно,
(1.15)
к = + + (1Л6а)
л = [| (eI + Vr^^5)],/’. (1-166)
Равенства (1.13а, б) и (1.16а, б) эквивалентны, и выбор тех или других есть дело вкуса.
Согласно (1.16а) показатель поглощения оказывается отличным от нуля, если отлична от нуля мнимая часть диэлектрической проницаемости. Последняя может быть обусловлена как носителями заряда, так и решеткой. В первом случае имеет место поглощение электромагнитной волны, связанное с различными электронными переходами, во втором — поглощение, связанное с передачей энергии непосредственно решетке, т. е. с генерацией только фононов. В обоих случаях, однако, расчет оптических характеристик вещества сводится к вычислению электропроводности а (со), определяемой равенством
j (со) = сг (со) S (со). (1-17)
Здесь j (а>) есть плотность электрического тока, возбуждаемого
в веществе монохроматической электромагнитной волной вида (1.7).
Отметим два случая.
