Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
экситон
563
§ 7. Экситон
В ряде веществ (V205, некоторые молекулярные кристаллы) поглощение света вблизи границы собственной полосы не сопровождается фотопроводимостью (фотоэлектрически неактивно). В других веществах (Cu20, CdS) поглощение света с частотой, близкой к Egl%, приводит к фотопроводимости, но величина фототока оказывается пропорциональной концентрации примеси.
Для объяснения этих явлений Я. И. Френкелем и Р. Пайерльсом было введено представление о нейтральной квазичастице — экси-тоне *). Экситон представляет собой связанное состояние электрона и дырки, возникающее в результате кулоновского притяжения их друг к другу. Образовав экситон, электрон и дырка движутся по кристаллу совместно — как одно целое.
Обе указанные выше группы фактов можно объяснить, предположив, что поглощение света в рассматриваемой области частот приводит к образованию экситона. Действительно, будучи в целом нейтральным, экситон не участвует в переносе тока. При столкновении с атомом примеси может произойти ионизация экситона с образованием двух свободных носителей заряда. При больших энергиях световых квантов становятся возможными и переходы с образованием сразу пары свободных носителей заряда.
Рассчитаем энергетический спектр экситона, пользуясь простейшей моделью полупроводника. Именно, будем считать, что минимальные значения энергии электрона и дырки (нижние края соответствующих зон) лежат в центре зоны Бриллюэна, причем законы дисперсии вблизи этих экстремумов имеют вид
Еп(р) = Ее + ^-, Е,(Р) = 4г- (7Л)
Здесь Еп и Ер, р„ и — энергии и квазиимпульсы электрона и дырки; за нуль энергии принят потолок валентной (т. е. дно дырочной) зоны.
Предположим также (это будет оправдано последующим расчетом), что размер экситона (среднее расстояние между взаимосвязанными электроном и дыркой) велик по сравнению с постоянной решетки. Тогда для описания экситона мы вправе воспользоваться методом эффективной массы. Соответствующее уравнение Шредингера имеет вид
~^TnV^—&p -Tiribjl Ч» + ОД? -^ (7-2)
Здесь глигр — радиус-векторы электрона и дырки, у л и Vp — лап‘ ласианы по координатам электрона и дырки, ^(r„, гр) — волновая функция рассматриваемой системы двух частиц, Е — соответствующее
*) От слова «excitation» — возбуждение.
564 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОНИОП ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
собственное значение энергии, отсчитываемое от энергии основного состояния. Через е обозначена диэлектрическая проницаемость вещества. Строго говоря, надо было бы взять ее значение при час-\Eg-E\
тоте <й9 =----^----; во многих полупроводниках, однако, юэ лежит
далеко от области дисперсии и под е можно понимать статическую диэлектрическую проницаемость.
Предельный переход к зонной теории получится, если вычеркнуть третье слагаемое в левой части (7.2). При этом функция -ф будет иметь вид
^ = = Л ехр[^-(р„, г„) + ~ (рр, гр)], (7.3)
где А — нормировочный множитель. Соответствующее значение Е дается суммой .выражений (7.1), при этом Е > Eg.
При учете взаимодействия электрона и дырки положение меняется. Решение уравнения (7.2) и в этом случае получается без труда: надо лишь заметить, что (7.2) совершенно идентично уравнению Шредингера для атома водорода, причем тр и тп отвечают, соответственно, массе ядра и массе электрона, а разность Е — Eg —¦ собственному значению энергии атома.
Введем относительный координаты г и координаты центра инерции R, полагая
тптп-\-т0г0
•г = гя-г„ R- _ (7.4)
Обозначим, также через
т„тр
т = тп+тр, =
полную и приведенную массы системы. Тогда уравнение (7.2) примет
вид
р-2')
С точностью до нормировочного множителя решение уравнения (7.2') есть
ij?(r, Щ = еъ'{рЮХ(г), (7.5)
где х (г) — новая неизвестная функция, р — вектор с вещественными компонентами. Для % (г) получается уравнение
** V&--?-х = *х. (7.6)
2 тг г/в ег
причем
Х = Е-Ее-^. ' (7.7)
экситон
565
Первый сомножитель в правой части (7.5) описывает свободное движение экситона как целого. Вектор р есть квазиимпульс центра инерции экситона. Функция х(г) описывает относительное движение электрона и дырки.
С точностью до замены тг -> т уравнение (7.6) совпадает с уже известным нам уравнением (IV.7.2), фигурировавшим в «водородной» модели примесного центра. Здесь имеются решения двух типов.
а. Решения, принадлежащие непрерывному спектру. Они существуют при X >0, т. е., согласно (7.7), при любых значениях Е, удовлетворяющих неравенству
+ <7’8а> Функция х(г) при этом такова, что вероятность найти электрон и дырку на любом — сколь угодно большом — расстоянии друг от друга отлична от нуля. Это — аналог «зонного» решения (7.3): электрон и дырка не связаны друг с другом, а движутся независимо, испытывая лишь взаимное рассеяние. Мы имеем здесь пару свободных носителей заряда.
