Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бонч-Бруевич В.Л. -> "Физика полупроводников " -> 240

Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.

Бонч-Бруевич В.Л. , Калашников С.Г. Физика полупроводников — Москва, 1977. — 678 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikapoluprovodnikov1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 234 235 236 237 238 239 < 240 > 241 242 243 244 245 246 .. 295 >> Следующая


/= 1

где N — полное число (валентных) электронов, я|)— пока неизвестные функции, каждая из которых зависит от координат (пространственных и спиновой) только одного из электронов.
МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ

557

' Подставляя (5.4) в (5.3) и замечая, что оператор Ht( г) действует только на координаты г'-го электрона, получим

I] Hi (Г;) ij; (Г/) Ш(г,) = ?Ш (Г/) Ф (Г<) •

г 1ф1 1ф1

Это уравнение удовлетворяется, лишь если

^(г«>=?^(Г(), (5.5)

где ?j— величины, не зависящие от г, причем

%Е, = Е. (5.6)

i

Равенство (5.5) есть не что иное, как одноэлектронное уравнение Шредингера. Из дальнейшего будет видно, что в идеальной решетке эффективную потенциальную энергию U' (г,) можно определить как периодическую функцию координат. Поскольку функция U0(rd также периодична, мы получили уравнение (III. 2.4), в котором лишь опущен индекс i. При этом U = U0 + U', а величины if (гг) имеют смысл волновых функций отдельных электронов. Как и волновые функции if>i, величины Et зависят от квантовых чисел отдельных электронов V Как мы знаем, в зонной теории роль этих квантовых чисел играют три компоненты квазиимпульса и номер зоны.

Конечно, это еще не есть полное обоснование зонной теории с последовательно многоэлектронной точки зрения. Действительно, возможность перейти к одноэлектронной постановке задачи здесь не доказана, а навязана заранее заменой Не на Н'е. Смысл метода, излагаемого в настоящем параграфе, состоит лишь в том, чтобы наиболее точно выбрать эффективную потенциальную энергию U', получив тем самым наилучшую аппроксимацию в рамках одноэлектронного приближения.

Обратимся теперь к подбору эффективного поля U’. Равенство

2

в точности не может удовлетворяться. Действительно, в левой его части стоит сумма функций двух переменных, а в правой каждое из слагаемых зависит только от одной переменной. Можно, однако, потребовать, чтобы оно удовлетворялось в среднем. Для этой цели определим (/'(г() как потенциальную энергию t-ro электрона в поле, создаваемом средней плотностью заряда всех остальных электронов:

U'{n)-e* ^ dr'. (5.7)'

/ Ф i 11

В отличие от внешних полей, потенциальная энергия a priori

не задана: она зависит от вида волновых функций которые в
558

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII

сбою очередь сами определяются через U' из уравнений (5.5). Такое поле называется самосогласованным *). Подставляя в (5.7) в качестве 'фяу(г') функции Блоха, можно убедиться, что функция ?/'(г;) действительно периодична с периодом решетки.

Волновая функция (5.4) имеет мультипликативный вид. Поэтому такой же оказывается и вероятность обнаружить электроны, соответственно, в элементах объема dr1 drN:

11 («1...rjv) i2^ ... drN = (г0 i2 dvi- (5-8)

i= l

)

По известной теореме теории вероятностей это означает, что в приближении самосогласованного поля попадания электронов в элементы объема drlt dr.2, ... суть независимые события. Иначе говоря, волновая функция (5.4) не учитывает корреляции в поведении электронов. Фактически такая корреляция имеет место. Она обусловлена двумя причинами — принципом Паули и взаимодействием между электронами. Согласно принципу Паули волновая функция системы электронов г|?(гх, ..., rvv) должна быть антисимметричной относительно перестановки координат и спинов любых двух электронов (что исключает возможность пребывания двух электронов в одном и том же стационарном состоянии). Волновая функция

(5.4) не удовлетворяет этому требованию антисимметрии. Как известно из квантовой механики, для учета принципа Паули надо произведение функций (г,-) в правой части (5.4) заменить детерминантом

X = (tf!)-v.Det|iMry)|. (5-4')

Множитель (iV!)"1''2 здесь введен для нормировки % на единицу, индексы i и / нумеруют, соответственно, строки и столбцы детерминанта. При этом в правой части (5.7) появляется дополнительное («обменное») слагаемое, также содержащее интегралы' от функции

**)¦

Корреляция, связанная с кулоновским отталкиванием между электронами, должна проявиться в зависимости [функции х(гь ..,

..., Гдг) от расстояний между электронами: вероятность обнаружить,, электроны на малых расстояниях друг от друга должна убывать с уменьшением этих расстояний. В рамках метода самосогласованного поля этот эффект теряется. Роль его при определении энерге-

*) Метод самосогласованного полй в такой форме был предложен в 20-х годах. Д. Хартри в связи с теорией атома.

* *) Этот «метод самосогласованного поля с обменом» был предложен В. А. Фог 1ком в1930 г. В. А. Фок показал, что решения уравнений самосогласованного поля ic обменом —наилучшие из всех одноэлектронных функций вида (5.4'): они дают (самое точное значение энергии системы.
Предыдущая << 1 .. 234 235 236 237 238 239 < 240 > 241 242 243 244 245 246 .. 295 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed