Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/= 1
где N — полное число (валентных) электронов, я|)— пока неизвестные функции, каждая из которых зависит от координат (пространственных и спиновой) только одного из электронов.
МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
557
' Подставляя (5.4) в (5.3) и замечая, что оператор Ht( г) действует только на координаты г'-го электрона, получим
I] Hi (Г;) ij; (Г/) Ш(г,) = ?Ш (Г/) Ф (Г<) •
г 1ф1 1ф1
Это уравнение удовлетворяется, лишь если
^(г«>=?^(Г(), (5.5)
где ?j— величины, не зависящие от г, причем
%Е, = Е. (5.6)
i
Равенство (5.5) есть не что иное, как одноэлектронное уравнение Шредингера. Из дальнейшего будет видно, что в идеальной решетке эффективную потенциальную энергию U' (г,) можно определить как периодическую функцию координат. Поскольку функция U0(rd также периодична, мы получили уравнение (III. 2.4), в котором лишь опущен индекс i. При этом U = U0 + U', а величины if (гг) имеют смысл волновых функций отдельных электронов. Как и волновые функции if>i, величины Et зависят от квантовых чисел отдельных электронов V Как мы знаем, в зонной теории роль этих квантовых чисел играют три компоненты квазиимпульса и номер зоны.
Конечно, это еще не есть полное обоснование зонной теории с последовательно многоэлектронной точки зрения. Действительно, возможность перейти к одноэлектронной постановке задачи здесь не доказана, а навязана заранее заменой Не на Н'е. Смысл метода, излагаемого в настоящем параграфе, состоит лишь в том, чтобы наиболее точно выбрать эффективную потенциальную энергию U', получив тем самым наилучшую аппроксимацию в рамках одноэлектронного приближения.
Обратимся теперь к подбору эффективного поля U’. Равенство
2
в точности не может удовлетворяться. Действительно, в левой его части стоит сумма функций двух переменных, а в правой каждое из слагаемых зависит только от одной переменной. Можно, однако, потребовать, чтобы оно удовлетворялось в среднем. Для этой цели определим (/'(г() как потенциальную энергию t-ro электрона в поле, создаваемом средней плотностью заряда всех остальных электронов:
U'{n)-e* ^ dr'. (5.7)'
/ Ф i 11
В отличие от внешних полей, потенциальная энергия a priori
не задана: она зависит от вида волновых функций которые в
558
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
сбою очередь сами определяются через U' из уравнений (5.5). Такое поле называется самосогласованным *). Подставляя в (5.7) в качестве 'фяу(г') функции Блоха, можно убедиться, что функция ?/'(г;) действительно периодична с периодом решетки.
Волновая функция (5.4) имеет мультипликативный вид. Поэтому такой же оказывается и вероятность обнаружить электроны, соответственно, в элементах объема dr1 drN:
11 («1...rjv) i2^ ... drN = (г0 i2 dvi- (5-8)
i= l
)
По известной теореме теории вероятностей это означает, что в приближении самосогласованного поля попадания электронов в элементы объема drlt dr.2, ... суть независимые события. Иначе говоря, волновая функция (5.4) не учитывает корреляции в поведении электронов. Фактически такая корреляция имеет место. Она обусловлена двумя причинами — принципом Паули и взаимодействием между электронами. Согласно принципу Паули волновая функция системы электронов г|?(гх, ..., rvv) должна быть антисимметричной относительно перестановки координат и спинов любых двух электронов (что исключает возможность пребывания двух электронов в одном и том же стационарном состоянии). Волновая функция
(5.4) не удовлетворяет этому требованию антисимметрии. Как известно из квантовой механики, для учета принципа Паули надо произведение функций (г,-) в правой части (5.4) заменить детерминантом
X = (tf!)-v.Det|iMry)|. (5-4')
Множитель (iV!)"1''2 здесь введен для нормировки % на единицу, индексы i и / нумеруют, соответственно, строки и столбцы детерминанта. При этом в правой части (5.7) появляется дополнительное («обменное») слагаемое, также содержащее интегралы' от функции
**)¦
Корреляция, связанная с кулоновским отталкиванием между электронами, должна проявиться в зависимости [функции х(гь ..,
..., Гдг) от расстояний между электронами: вероятность обнаружить,, электроны на малых расстояниях друг от друга должна убывать с уменьшением этих расстояний. В рамках метода самосогласованного поля этот эффект теряется. Роль его при определении энерге-
*) Метод самосогласованного полй в такой форме был предложен в 20-х годах. Д. Хартри в связи с теорией атома.
* *) Этот «метод самосогласованного поля с обменом» был предложен В. А. Фог 1ком в1930 г. В. А. Фок показал, что решения уравнений самосогласованного поля ic обменом —наилучшие из всех одноэлектронных функций вида (5.4'): они дают (самое точное значение энергии системы.