Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
\dr\x(r)\2= 1,
где dr есть произведение дифференциалов drlt ..., получим
+12 ^(Гг - ^ +2и2 (г‘- -Ra) 4dr• (2'6)
<¦ / а )
В правой части (2.6) стоит как раз выражение для квантовомеханического среднего значения полной энергии электронов при заданной конфигурации ядер.
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
551
Равенство (2.56) представляет собой не что иное, как уравнение Шредингера для системы ядер. Потенциальная энергия ее есть
Видим, что в рамках принятого приближения ядра действительно испытывают лишь усредненное воздействие электронов: средняя энергия последних входит как потенциальная энергия в уравнение, движения тяжелых частиц.
Уравнения (2.5а) и (2.56) осуществляют программу, намеченную в начале этого параграфа. Приближение, в рамках которого они получены (пренебрежение слагаемыми в третьей строке уравнения
(2.4)), называется адиабатическим: функция % (г; R) описывает поведение системы электронов при бесконечно медленном («адиабатическом») изменении параметров R.
Слагаемые, содержащиеся в третьей строке уравнения (2.4), называются членами неадиабатичности; они представляют собой результат применения «оператора неадиабатичности»
к функции %.
Таким образом, мы получили ответ на первый из вопросов, поставленных в предыдущем параграфе: раздельное рассмотрение движения электронов и ядер возможно в рамках адиабатического приближения.
Для оценки степени точности адиабатического приближения надо, рассматривая оператор неадиабатичности как возмущение, вычислить связанные с ним поправки к энергетическому спектру системы и к другим наблюдаемым величинам. В простейшем случае, когда основное состояние рассматриваемой системы электронов и ядер не вырождено и отделено достаточно большой энергетической щелью от первого возбужденного состояния, результат оказывается довольно простым [1]: поправки к адиабатическому приближению — порядка не ниже (/п0/М)1/4, где М — масса ядра. При отказе от указанных только что предположений возникают трудности, связанные с применением теории возмущений в непрерывном спектре. Полная ясность здесь еще не достигнута.
Отметим, что есть явления, при изучении которых учет неадиабатичности необходим принципиально. Так обстоит дело, если мы интересуемся обменом энергией между электронами и решеткой *). Одна из важных задач этого типа есть задача о захвате свободных электронов и дырок ловушками.
*) Рассеяние электронов фононами (гл. XIV) также есть пример неадиабатического процесса. Не случайно константа С в выражении (XIV.4.19) содержит в числителе массу элементарной ячейки М.
U3(Ra-Rb) + E(R).
(2.7)
афЬ
а
552
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
§ 3. Приближение малых колебаний
В рамках адиабатического приближения уравнение (2.5а) описывает поведение электронов в любой атомной системе — твердом теле, жидкости, газе, отдельной молекуле и т. д. Специализируя его для идеального кристалла, надо считать, что атомные ядра расположены в узлах кристаллической решетки. Очевидно, соответствующие значения R должны отвечать минимуму потенциальной энергии ядер (2.7): в противном случае решетка была бы неустойчива. Само выражение (2.7), фигурирующее в уравнении (2.56), естественно разложить в ряд по малым отклонениям от- положений равновесия. Это приближение малых колебаний оправдано, пока амплитуда колебаний мала по сравнению с постоянной решетки, т. е. пока температура кристалла не слишком близка к точке плавления. Пользуясь таким приближением, мы приходим к постановке задачи о малых колебаниях, принятой в гл. XII.
Согласно (2.7) потенциальная энергия системы ядер зависит от состояния электронов. Следовательно, то же относится и к положениям равновесия, и к частотам нормальных колебаний: последние, как мы знаем, определяются вторыми производными от функции V(R) (2.7), взятыми в точке ее минимума. Таким образом, разным состояниям системы электронов соответствуют, вообще говоря, различные фононные спектру. Это обстоятельство не играло существенной роли в теории подвижности, ибо, как мы видели в § XIV.4, изменение энергии 'электрона при поглощении или испускании одного акустического фонона сравнительно невелико. Однако при захвате электрона примесным центром или иным структурным дефектом решетки положение может измениться. Как мы увидим в § 9, это обстоятельство существенно для правильной оценки вероятности захвата.
До сих пор мы говорили о тяжелых частицах как об атомных ядрах. Однако весвма часто роль тяжёлых частиц могут играть" и атомные остовы, содержащие электроны внутренних оболочек. Действительно, энергия связи внутренних электронов с ядром" обычно столь велика, что состояния их лишь очень мало меняются ; как при образовании кристалла, так и при различных электронных процессах в нем *). Далее, внутренние электроны в среднем расято»-лагаются гораздо ближе к ядру, нежели валентные. Большей степени , локализации отвечает и большая кинетическая энергия: валентные" электроны движутся в среднем заметно медленнее внутренних. Это позволяет вновь применить адиабатическое приближение, рассмда ривая на сей раз внутренние электроны как «быструю подсистему^, а валентные — как «медленную»; такой подход оправдан, коль
