Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы увидим, такая возможность действительно существует для определенного (достаточно широкого) класса материалов и круга явлений. Обращаясь к изучению других материалов и других явлений, мы тем самым перейдем к задачам, выходящим за рамки зонной теории.
§ 2. Адиабатическое приближение
Обратимся к вопросу о возможности раздельно рассматривать движение электронов и тяжелых частиц. Под последними пока будем понимать ядра атомов кристаллической решетки.
Физическая причина, оправдывающая указанное разделение, состоит в резком различии масс электрона и ядра. В силу этого различия можно ожидать, что- скорости и ускорения электронов будут в среднем значительно превышать скорости и ускорения ядер. При этом характер движения электронов будет определяться мгновенным расположением ядер. С другой стороны, ядра, в силу инерционности своего движения, будут «замечать» лишь среднее расположение электронов.
Задача состоит теперь в квантовомеханическом оформлении этих полуинтуитивных соображений классического характера. При этом, в частности, надо придать и точный смысл словам «среднее расположение» и т. п.
Пронумеруем электроны индексами i, /, а тяжелые частицы — индексами а, Ь. Каждый из этих индексов принимает, независимо от других, столько значений, сколько соответствующих частиц есть в системе. Обозначим радиус-векторы электронов и тяжелых частиц,
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
549
соответственно, через гг и Ra; совокупности этих переменных обозначим для краткости через г = {г^ ...} и R = {Rx, ...}. Спиновые координаты электронов явно указывать не будем, подразумевая лишь в случае необходимости, что они включены в г. Массы тяжелых частиц обозначим через Ма. Для дальнейшего существенно лишь, что все они гораздо больше массы электрона т0. Потенциальные энергии взаимодействия двух электронов друг с другом, электрона с ядром и двух ядер друг с другом обозначим, соответственно, через иг (г, — г,), t/2 (г,- — R„) и Us (Ra — R*).
Уравнение Шредингера для рассматриваемой системы частиц имеет вид
(2.1)
где W — полная энергия сцстемы. Волновая функция Ч' зависит от совокупностей всех координат г = {г1( ...} и R — {Rx, ...}, а гамильтониан Я дается выражением
" = -&-№‘ + т2^-г,) +
* a i^i
+ 2t/a(r,-Ra) + |2 ^(Ra-Rft). (2.2)
i,a афЬ
Здесь символы у! и V« обозначают лапласианы по переменным г( и Ra.
Нам предстоит выяснить, нельзя ли свести уравнение (2.1) к системе двух более простых уравнений, описывающих, соответственно, движение электронов при заданном расположении ядер и (более медленное) движение самих ядер. В соответствии с высказанной выше физической идеей представим волновую функцию V в виде
?(r, R) = %(r, Я)Ф(Я). (2.3)
Здесь х и Ф — неизвестные пока функции, причем желательно, чтобы % зависела от координат R только параметрически. Это означает следующее: желательно, чтобы переменные Rlf ... входили в уравнение для % только как аргументы, от которых зависит потенциальная энергия, но не как координаты, по которым производится дифференцирование.
Подставляя выражение (2.3) в уравнение (2.1), получаем
550
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. XVII
В третьей строке уравнения (2.4) выписаны слагаемые, содержащие производные от % по координатам ядер: в первом члене на функцию % действуют операторы скорости тяжелых частиц (— ih/Ma)ya, во втором — операторы их кинетической энергии (— h2l2Ma)
С другой стороны, в первой строке (2.4) на функцию % действуют операторы кинетической энергии электронов (— %г12т0)у}. Поскольку ядра в среднем движутся гораздо медленнее легких частиц, можно ожидать, что при определении энергетического спектра электронов слагаемые в третьей строке (2.4) будут сравнительно несущественны. Пренебрегая ими, мы можем выполнить в (2.4) разделение «электронных» и «ядерных» переменных. В самом деле, приравняем коэффициент при Ф в первой строке (2.4) некоторой функции E(R)%. Получим
~ 2 + Т 2 ^ <г‘ - «V) * + 2 и» (г* ¦- R«) *= Е (Я) X. (2.5а)
i i,a
“2ж^*ф + т2 t/3(Ra-R,)O + ?(^)O = r0. (2.56)
а афЬ
Равенство (2.5а) есть не что иное, как уравнение Шредингера для системы электронов, взаимодействующих друг с другом и с атомными ядрами, покоящимися, в некоторых фиксированных точках пространства. Координаты последних R1( ... входят в уравнение как параметры. Величина E(R) имеет смысл собственного значения энергии рассматриваемой системы. Естественно, она зависит от параметров Rj, ..., входящих в уравнение, т. е. от расположения ядер в данный момент времени.
Как известно из квантовой механики, Е (R) можно рассматривать и. как квантовомеханическсе среднее значение энергии электронов при данной конфигурации ядер. Действительно, умножим уравнение (2.5а) слева на функцию %* (принадлежащую данному собственному значению Е) и проинтегрируем по электронным координатам (включая и суммирование по спиновым координатам). Замечая, что имеет место условие нормировки